Question

如图，△ABC是圆O的内接三角形，AB是直径，∠ABC=45°，点M在边AC上，点N在边BC上，△MCN与△MPN关于直线MN对称，P是AB上的点．
（1）当点P是边AB的中点时，求证：；
（2）当点P不是边AB的中点时，是否仍然成立？请证明你的结论．

Answer 1

（1）证明：连接CP，依据题意得折痕MN⊥CP．
∵AC=BC，AP=BP，
∴CP⊥AB．
∴MN∥AB，
∴．
∴．


（2）解：当点P不是斜边AB的中点时，仍然成立．
证明如下：
连接CP，则MN⊥CP．作PE⊥AC于E．
∵∠ACB=90°，
∴PE∥BC，
∴．
又AC=BC，∠A=∠B=45°，∠APE=∠B=45°，
∴AE=PE．
∵∠MCN=90°，CP⊥MN，
∴∠ECP=∠MNC，
∴Rt△MCN∽Rt△PEC，
∴．
∴．
∴．
分析：（1）连接CP，依据题意得折痕MN⊥CP，由AC=BC，AP=BP，可得CP⊥AB，MN∥AB，利用平行线分线段成比例定理，即可证得；
（2）连接CP，则MN⊥CP．作PE⊥AC于E，易得PE∥BC，由平行线分线段成比例定理与等腰三角形的性质，即可证得Rt△MCN∽Rt△PEC，由相似三角形的对应边成比例，即可证得答案．
点评：此题考查了翻折变换的性质，平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质等知识．此题难度适中，解题时要注意比例变形与数形结合思想的应用．