Question

如图．△ABC是圆的内接正三角形，D是BC弧上任意一点，试探求线段BD、DC、DE之间的关系并予证明．

Answer 1

分析：延长CD至H，使DH=BD，△ABC为正三角形，然后可证△ABD≌△CBH，得BD+DC=HC=AD，利用（同弧所对的圆周角相等）求△ABD∽△CED，然后利用其对应边成比例即可证明．

解答：解：

1

BD

+

1

DC

=

1

DE

证明：延长CD至H，使DH=BD，△ABC为正三角形，
∴∠BDC=120°，∠BDH=180°-∠BDC=60°，
∴△DBH为正三角形，
∴BD=HD，∠H=60°，
又∵AB=BC，∠ADB=∠ACB=60°，∠BAD=∠BCD，
∴△ABD≌△CBH，
∴AD=HC=HD+DC=BD+DC，
又∵∠DCE=∠BAD，∠EDC=∠ADB，（同弧所对的圆周角相等）
∴△ABD∽△CED
∴

AD

BD

=

DC

DE

∴

BD+DC

BD

=

DC

DE

，
∴

BD+DC

BD?DC

=

1

DE

∴

1

BD

+

1

DC

=

1

DE

．

点评：此题考查学生对相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，圆周角定理等知识点的理解和掌握，综合性较强，难度较大．