Question

已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，BC=CD=2AD，E、F分别是BC、CD边的中点，连接BF、DE交于点P，连接CP并延长交AB于点Q，连接AF，则下列结论不正确的是（　　）

• A、CP平分∠BCD
• B、四边形ABED为平行四边形
• C、△ABF为等腰三角形
• D、CQ将直角梯形ABCD分为面积相等的两部分

Answer 1

考点：直角梯形

专题：

分析：根据中点的定义求出BE=CE=CF=DF，再利用“边角边”证明△BCF和△DCE全等，根据全等三角形对应边相等可得DE=BF，全等三角形对应角相等可得∠CBF=∠CDE，∠BFC=∠DEC，再根据等角的补角相等可得∠BEP=∠DFP，然后利用“角边角”证明△BEP和△DFP全等，根据全等三角形对应边相等可得BP=DP，再利用“边角边”证明△BCP和△DCP全等，根据全等三角形对应角相等可得∠BCP=∠DCP，再根据角平分线的定义可得CP平分∠BCD；根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形ABED为平行四边形，根据平行四边形的对边相等可得AB=DE，再求出AB=BF，从而得到△ABF为等腰三角形；连接QD，利用“边角边”证明△BCQ和△DCQ全等，根据全等三角形的面积相等判断出S_△BCQ=S_△DCQ，判断出CQ将直角梯形ABCD分成的两部分面积不相等．

解答：解：∵BC=CD，E、F分别是BC、CD边的中点，
∴BE=CE=CF=DF，
在△BCF和△DCE中，

BC=DC ∠BCF=∠DCE=90° CE=CF

，
∴△BCF≌△DCE（SAS），
∴DE=BF，∠CBF=∠CDE，∠BFC=∠DEC，
∴180°-∠BFC=180°-∠DEC，
即∠BEP=∠DFP，
在△BEP和△DFP中，

∠CBF=∠CDE BE=DF ∠BEP=∠DFP

，
∴△BEP≌△DFP（ASA），
∴BP=DP，
在△BCP和△DCP中，

BP=DP ∠CBF=∠CDE BC=CD

，
∴△BCP≌△DCP（SAS），
∴∠BCP=∠DCP，
∴CP平分∠BCD，故A选项结论正确；
∵BC=2AD，E是BC的中点，
∴BE=AD，
又∵AD∥BC，
∴四边形ABED为平行四边形，故B选项结论正确；
∴AB=DE，
又∵DE=BF（已证），
∴AE=BF，
∴△ABF为等腰三角形，故C选项结论正确；
连接QD，
在△BCQ和△DCQ中，

BC=CD ∠BCP=∠DCP CQ=CQ

，
∴△BCQ≌△DCQ（SAS），
∴S_△BCQ=S_△DCQ，
∴CQ将直角梯形ABCD分成的两部分面积不相等，故D选项结论不正确．
故选D．

点评：本题考查了直角梯形，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，等腰三角形的判定，熟记各图形的判定方法和性质并准确识图是解题的关键，难点在于多次证明三角形全等．