Question

【题目】如图，平面直角坐标系中，已知直线经过点P（2，1），点A在y轴的正半轴上，连接PA，将线段PA绕点P顺时针旋转90°至线段PB，过点B作直线MN⊥x轴，垂足为N，交直线y=kx（k≠0）于点M（点M在点B的上方），且BN=3BM，连接AB，直线AB与直线交于点Q，则点Q的坐标为__________．

Answer 1

【答案】（7，）

【解析】

由已知条件得到直线OM的解析式为：y＝x，过P作EF∥x轴交y轴于E交MN于F，推出四边形OEFN是矩形，根据全等三角形的性质得到AE＝PF，PE＝BF＝2，求得A（0，7），B（8，3），列方程组即可得到结论．

∵直线y＝kx（k≠0）经过点P（2，1），

∴k＝，

∴直线OM的解析式为：y＝x，

过P作EF∥x轴交y轴于E交MN于F，

∵MN⊥x轴，

∴MN∥AO，

∴四边形OEFN是矩形，

∵P（2，1），

∴OE＝FN＝1，PE＝2，

∴∠OEF＝∠EFN＝90°，

∴∠AEF＝∠BFE＝90°，

∵∠APB＝90°，

∴∠EAP+∠APE＝∠APE+∠BPF＝90°，

∴∠EAP＝∠BPF，

在△AEP与△PFB中

，

∴△AEP≌△PFB（AAS），

∴AE＝PF，PE＝BF＝2，

∴BN＝3，

∵BN＝3BM，

∴BM＝1，

∴MN＝4，

∴点M的纵坐标为4，

∴M（8，4），

∴PF＝AE＝6，

∴A（0，7），B（8，3），

设直线AB的解析式为：y＝kx+b，

∴，

∴，

∴直线AB的解析式为：y＝﹣x+7，

由得，

∴点Q的坐标为（7，）．

故答案为：（7，）．