Question

已知直线y=kx-3与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点C，抛物线y=-

3

4

x2+mx+n经过点A和点C，动点P在x轴上以每秒1个长度单位的速度由抛物线与x轴的另一个交点B向点A运动，点Q由点C沿线段CA向点A运动且速度是点P运动速度的2倍．
（1）求此抛物线的解析式和直线的解析式；
（2）如果点P和点Q同时出发，运动时间为t（秒），试问当t为何值时，△PQA是直角三角形；
（3）在直线CA上方的抛物线上是否存在一点D，使得△ACD的面积最大？若存在，求出点D坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）将A点坐标代入直线的解析式中，即可求得k的值，从而确定该直线的解析式；将A、C的坐标代入抛物线的解析式中，可求得m、n的值，从而确定抛物线的解析式．
（2）根据（1）得到的抛物线解析式，可求得点B的坐标，根据P、Q的运动速度，可用t表示出BP、CQ的长，进而可得到AQ、AP的长，然后分三种情况讨论：
①∠APQ=90°，此时PQ∥OC，可得到△APQ∽△AOC，根据相似三角形所得比例线段即可求得t的值；
②∠AQP=90°，亦可证得△APQ∽△ACO，同①的方法可求得此时t的值；
③∠PAQ=90°，显然这种情况是不成立的．
（3）过D作y轴的平行线，交直线AC于F，设出点D的横坐标，根据抛物线和直线AC的解析式可表示出D、F的纵坐标，进而可求得DF的长，以DF为底，A点横坐标的绝对值为高即可得到△ADC的面积表达式（或由△ADF、△CDF的面积和求得），由此可求出关于△ADC的面积和D点横坐标的函数关系，根据函数的性质即可求得△ADC的面积最大值及对应的D点坐标．

解答：解：（1）∵直线y=kx-3过点A（4，0），
∴0=4k-3，解得k=

3

4

．
∴直线的解析式为y=

3

4

x-3．（1分）
由直线y=

3

4

x-3与y轴交于点C，可知C（0，-3）．
∵抛物线y=-

3

4

x2+mx+n经过点A（4，0）和点C，
∴-

3

4

×42+4m-3=0，
解得m=

15

4

．
∴抛物线解析式为y=-

3

4

x2+

15

4

x-3．（2分）

（2）对于抛物线y=-

3

4

x2+

15

4

x-3，
令y=0，则-

3

4

x2+

15

4

x-3=0，
解得x₁=1，x₂=4．
∴B（1，0）．
∴AB=3，AO=4，OC=3，AC=5，AP=3-t，AQ=5-2t．
①若∠Q₁P₁A=90°，则P₁Q₁∥OC（如图1），
∴△AP₁Q₁∽△AOC．
∴

AP1

AO

=

AQ1

AC

，
∴

3-t

4

=

5-2t

5

，
解得t=

5

3

；（3分）
②若∠P₂Q₂A=90°，
∵∠P₂AQ₂=∠OAC，
∴△AP₂Q₂∽△ACO．
∴

AP2

AC

=

AQ2

AO

，
∴

3-t

5

=

5-2t

4

解得t=

13

6

；（4分）
③若∠QAP=90°，此种情况不存在．（5分）
综上所述，当t的值为

5

3

或

13

6

时，△PQA是直角三角形．

（3）答：存在．
过点D作DF⊥x轴，垂足为E，交AC于点F（如图2）．
∴S_△ADF=

1

2

DF•AE，S_△CDF=

1

2

DF•OE．
∴S_△ACD=S_△ADF+S_△CDF
=

1

2

DF•AE+

1

2

DF•OE
=

1

2

DF×（AE+OE）
=

1

2

×（DE+EF）×4
=

1

2

×（-

3

4

x2+

15

4

x-3-

3

4

x+3）×4
=-

3

2

x2+6x．（6分）
∴S_△ACD=-

3

2

(x-2)2+6（0＜x＜4）．
又∵0＜2＜4且二次项系数-

3

2

＜0，
∴当x=2时，S_△ACD的面积最大．
而当x=2时，y=

3

2

．
∴满足条件的D点坐标为D（2，

3

2

）．（7分）

点评：此题考查了用待定系数法确定函数解析式的方法、直角三角形的判定、相似三角形的判定和性质、图形面积的求法等知识，（3）题中，将图形面积的最大（小）值问题转化为二次函数的最值问题是此类题常用的解法．