题目内容

观察以下等式，猜想第n个等式应为．
1×2= $数学公式$ ×1×2×3；
1×2+2×3= $数学公式$ ×2×3×4
1×2+2×3+3×4= $数学公式$ ×3×4×5；
1×2+2×3+3×4+4×5= $数学公式$ ×4×5×6，…
根据以上规律，请你猜测：
1×2+2×3+3×4+…+n（n+1）=（n为自然数）

1×2+2×3+3×4+…+n（n+1）= $\text{[math]}$ n（n+1）（n+2） $\text{[math]}$ n（n+1）（n+2）
分析：根据规律，从1开始的两个连续自然数的积的和等于最后两个自然数的乘积乘以比最后一个数大1的数然后再乘以 $\text{[math]}$ 即可．
解答：1×2= $\text{[math]}$ ×1×2×3；
1×2+2×3= $\text{[math]}$ ×2×3×4
1×2+2×3+3×4= $\text{[math]}$ ×3×4×5；
1×2+2×3+3×4+4×5= $\text{[math]}$ ×4×5×6，
…，
第n个等式为：1×2+2×3+3×4+…+n（n+1）= $\text{[math]}$ n（n+1）（n+2）．
故答案为：1×2+2×3+3×4+…+n（n+1）= $\text{[math]}$ n（n+1）（n+2）； $\text{[math]}$ n（n+1）（n+2）．
点评：本题是对数字变化规律的考查，观察出等式右边的数的规律是解题的关键．

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观察以下等式，猜想第n个等式应为

1×2+2×3+3×4+…+n（n+1）=

n（n+1）（n+2）

1×2+2×3+3×4+…+n（n+1）=

n（n+1）（n+2）

×1×2×3；
1×2+2×3=

×2×3×4
1×2+2×3+3×4=

×3×4×5；
1×2+2×3+3×4+4×5=

×4×5×6，…
根据以上规律，请你猜测：
1×2+2×3+3×4+…+n（n+1）=

n（n+1）（n+2）

n（n+1）（n+2）

（n为自然数）

等式中找规律

　　孙海洋是个爱动脑筋的八年级学生，他特别喜欢数学，一有空就看数学课外书，并琢磨书上的问题．有一次，他从一本书中看到了下面一个有趣的问题：

　　仔细观察下面4个等式：

　　3²＝2＋2²＋3

　　4²＝3＋3²＋4

　　5²＝4＋4²＋5

　　6²＝5＋5²＋6

　　……

　　请写出第5个等式，由此能发现什么规律？用公式将发现的规律表示出来．

　　对这个问题，孙海洋感到很新奇，他认真分析题目给出的4个等式，发现有以下一些结构特征：

　　(1)每个等式的左边都是一个自然数的平方，等式的右边都是3个数的和．

　　(2)4个等式的左边依次是3²、4²、5²、6²，它们的底数3、4、5、6是4个连续的自然数，其大小均比所处等式的序号多2．

　　(3)每个等式右边的3个加数也有明显的规律．

　　第1个加数和第3个加数是两个连续的自然数，并且第3个加数等于该等式左边平方数的底数，第2个加数也是一个平方数，底数等于第1个加数．

　　根据以上规律，孙海洋猜想第5个等式应该是7²＝6＋6²＋7．

　　孙海洋进一步归纳了这5个等式的规律，用公式表示为(n＋1)²＝n＋n²＋(n＋1)…①其中n＝2，3，…

　　如果将①式右边变形、左边不变，那么可得(n＋1)²＝n²＋2n＋1…②

　　等式②多么眼熟啊！它不就是完全平方公式的一个具体应用吗？由此可见，孙海洋同学归纳的规律是正确的．

想一想，当n＝0，1时，等式①是否成立？当n为负整数时，等式①是否成立？

观察以下等式，猜想第n个等式应为______．
1×2=

×1×2×3；
1×2+2×3=

×2×3×4
1×2+2×3+3×4=

×3×4×5；
1×2+2×3+3×4+4×5=

×4×5×6，…
根据以上规律，请你猜测：
1×2+2×3+3×4+…+n（n+1）=______（n为自然数）

观察以下等式,猜想第n个等式应为__________.

　　1×2=1/3×1×2×3；1×2+2×3=1/3×2×3×4

　　1×2+2×3+3×4=1/3×3×4×5；1×2+2×3+3×4+4×5=1/3×4×5×6，……

　　根据以上规律,请你猜测：

　　1×2+2×3+3×4+……+n(n+1)=　　　　(n为自然数)

　