Question

【题目】如图，AB是O的直径，AB＝4，C为的三等分点（更靠近A点），点P是O上一个动点，取弦AP的中点D，则线段CD的最大值为（ ）

A.2B.C.D.

Answer 1

【答案】D

【解析】

取OA的中点Q，连接DQ，OD，CQ，根据条件可求得CQ长，再由垂径定理得出OD⊥AP，由直角三角形斜边中线等于斜边一半求得QD长，根据当C,Q,D三点共线时，CD长最大求解.

解：如图，取AO的中点Q,连接CQ，QD，OD，

∵C为的三等分点，

∴的度数为60°，

∴∠AOC=60°,

∵OA=OC,

∴△AOC为等边三角形，

∵Q为OA的中点，

∴CQ⊥OA，∠OCQ=30°,

∴OQ= ,

由勾股定理可得，CQ= ,

∵D为AP的中点,

∴OD⊥AP，

∵Q为OA的中点，

∴DQ= ,

∴当D点CQ的延长线上时，即点C,Q,D三点共线时，CD长最大，最大值为 .

故选D