Question

如图，AB为半圆O的直径，AD、BC分别切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，AD与CD相交于D，BC与CD相交于C，连接OD、OC，对于下列结论：①OD²=DE•CD；②AD+BC=CD；③OD=OC；④S_梯形ABCD=CD•OA；⑤∠DOC=90°，其中正确的是（　　）

A．

①②⑤

B．

②③④

C．

③④⑤

D．

①④⑤

Answer 1

考点：

切线的性质；切线长定理；相似三角形的判定与性质。

专题：

计算题。

分析：

连接OE，由AD，DC，BC都为圆的切线，根据切线的性质得到三个角为直角，且利用切线长定理得到DE=DA，CE=CB，由CD=DE+EC，等量代换可得出CD=AD+BC，选项②正确；由AD=ED，OD为公共边，利用HL可得出直角三角形ADO与直角三角形EDO全等，可得出∠AOD=∠EOD，同理得到∠EOC=∠BOC，而这四个角之和为平角，可得出∠DOC为直角，选项⑤正确；由∠DOC与∠DEO都为直角，再由一对公共角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似，可得出三角形DEO与三角形DOC相似，由相似得比例可得出OD²=DE•CD，选项①正确；又ABCD为直角梯形，利用梯形的面积计算后得到梯形ABCD的面积为AB（AD+BC），将AD+BC化为CD，可得出梯形面积为AB•CD，选项④错误，而OD不一定等于OC，选项①错误，即可得到正确的选项．

解答：

解：连接OE，如图所示：

∵AD与圆O相切，DC与圆O相切，BC与圆O相切，

∴∠DAO=∠DEO=∠OBC=90°，

∴DA=DE，CE=CB，AD∥BC，

∴CD=DE+EC=AD+BC，选项②正确；

在Rt△ADO和Rt△EDO中，

，

∴Rt△ADO≌Rt△EDO（HL），

∴∠AOD=∠EOD，

同理Rt△CEO≌Rt△CBO，

∴∠EOC=∠BOC，

又∠AOD+∠DOE+∠EOC+∠COB=180°，

∴2（∠DOE+∠EOC）=180°，即∠DOC=90°，选项⑤正确；

∴∠DOC=∠DEO=90°，又∠EDO=∠ODC，

∴△EDO∽△ODC，

∴=，即OD²=DC•DE，选项①正确；

而S_梯形ABCD=AB•（AD+BC）=AB•CD，选项④错误；

由OD不一定等于OC，选项③错误，

则正确的选项有①②⑤．

故选A

点评：

此题考查了切线的性质，切线长定理，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，以及梯形面积的求法，利用了转化的数学思想，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．