Question

如图，AB为半圆O的直径，B₁，B₂，…，B_k是半圆上的k个点，满足BB₁=B₁B₂=…B_k-1B_k，对于线段OB₁，OB₂，…，OB_k，AB₁，AB₂，…，AB_k，当k=4时，有

 

对互相平行的线段；当k取任意大于1的整数时，试探索这2k条线段中有多少对互相平行的线段，写出你的结论：

 

．

Answer 1

分析：由BB₁=B₁B₂=…B_k-1B_k，得到弧BB₁=弧B₁B₂=…弧B_k-1B_k，当k=4时，可得∠B₁AO=∠B₁=∠B₁AB₂，得到OB₁∥AB₂，同理可得OB₂∥AB₄；
当k取任意大于1的整数时，①当k为偶数时，有

k

2

对互相平行的线段；②当k为奇数时，有

k-1

2

对互相平行的线段．

解答：解：∵BB₁=B₁B₂=…B_k-1B_k，
∵弧BB₁=弧B₁B₂=…弧B_k-1B_k，
当k=4时，
∴∠B₁AO=∠B₁=∠B₁AB₂，
∴OB₁∥AB₂，
同理可得OB₂∥AB₄，
∴有两对互相平行的线段；
当k取任意大于1的整数时，①当k为偶数时，有

k

2

对互相平行的线段；②当k为奇数时，有

k-1

2

对互相平行的线段．
故答案为：两；当k为偶数时，有

k

2

对互相平行的线段，当k为奇数时，有

k-1

2

对互相平行的线段．

点评：本题考查了在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及它们对应的两条弧、两条弦中有一组量相等，则另外两组量也对应相等．也考查了平行线的判定．