Question

如图，直线y=kx+b与y轴的交点坐标为A（0，1），与x轴的交点坐标为B（-3，0）；P、Q分别是x轴和直线AB上的一动点，在运动过程中，始终保持QA=QP；△APQ沿直线PQ翻折得到△CPQ，A点的对称点是点C．
（1）求直线AB的解析式．
（2）是否存在点P，使得点C恰好落在直线AB上？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用待定系数法即可求得函数的解析式；
（2）当C恰好落在直线AB上时，PQ一定垂直于直线AB，可以分成P在x轴的正半轴以及在OB之间，和P在B点三种情况进行讨论，即可求解．

解答：解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，则

b=1 -3k+b=0

解得

b=1 k= 1 3

，
即y=

1

3

x+1；

（2）分三种情况考虑下
第一种情况（如图甲）：设P的坐标为（t，0）
∵△APQ与△CPQ关于直线PQ对称，并且点A，Q，C共线，
∴∠AQP=∠CQP=90°，
∵QA=QP，∴QA=QP=QC
即△AQP，△CQP都是等腰直角三角形，
∴△APC是以P为顶角的等腰直角三角形．
根据AAS可以得到△AOP≌△PHC，
∴CH=OP=t，PH=OA=1，
∴点C的坐标为（t+1，t）．
∵点C落在直线AB上，
∴

1

3

(t+1)+1=t，解得t=2．即P的坐标为（2，0）．

第二种情况（如图乙）：设P的坐标为（t，0）
∵△APQ与△CPQ关于直线PQ对称，并且点A，Q，C共线，
∴∠AQP=∠CQP=90°，
∵QA=QP，∴QA=QP=QC，
即△AQP，△CQP都是等腰直角三角形，
∴△APC是以P为顶角的等腰直角三角形．
根据AAS可以得到△AOP≌△PHC，
∴CH=OP=-t，PH=OA=1，
∴点C的坐标为（t-1，-t）．
∵点C落在直线AB上，∴

1

3

(t-1)+1=-t，解得t=-

1

2

．
即P的坐标为（-

1

2

，0）．

第三种情况（如图丙）：
当点P与点B重合时，Q恰好是线段AB的中
点，此时点A关于直线PQ的对称点C与点A重
合，但A，P，Q三点共线，不能构成三角形，
故不符合题意．

点评：本题考查了待定系数求函数的解析是，以及全等三角形的判定与性质，正确理解当C恰好落在直线AB上时，PQ一定垂直于直线AB，从而根据P的位置进行讨论是关键．