Question

（2012•吉林）问题情境
如图，在x轴上有两点A（m，0），B（n，0）（n＞m＞0）．分别过点A，点B作x轴的垂线，交抛物线y=x²于点C、点D．直线OC交直线BD于点E，直线OD交直线AC于点F，点E、点F的纵坐标分别记为y_E，y_F．
特例探究
填空：
当m=1，n=2时，y_E=

2

，y_F=

2

；
当m=3，n=5时，y_E=

15

，y_F=

15

．
归纳证明
对任意m，n（n＞m＞0），猜想y_E与y_F的大小关系，并证明你的猜想．
拓展应用
（1）若将“抛物线y=x²”改为“抛物线y=ax²（a＞0）”，其他条件不变，请直接写出y_E与y_F的大小关系；
（2）连接EF，AE．当S_{四边形OFEB}=3S_△OFE时，直接写y_E与y_F的大小关系及四边形OFEA的形状．

Answer 1

分析：【特例探究】【归纳证明】都是【拓展应用】（1）的特殊情况，因此以【拓展】（1）为例说明前三小问的思路：
已知A、B的坐标，根据抛物线的解析式，能得到C、D的坐标，进而能求出直线OC、OD的解析式，也就能得出E、F两点的坐标，再进行比较即可．
最后一小题也比较简单：总结前面的结论，能得出EF∥x轴的结论，那么四边形OFEA的面积可分作△OEF、△OEA两部分，根据给出的四边形和△OFE的面积比例关系，能判断出EF、OA的比例关系，进而得出m、n的比例关系，再对四边形OFEA的形状进行判定．

解答：解：【特例探究】
当m=1，n=2时，A（1，0）、B（2，0）、C（1，1）、D（2，4）；
则：直线OC：y=x；直线OD：y=2x；
∴F（1，2）、E（2，2）；
即：y_E=y_F=2．
同理：当m=3，n=5时，y_E=y_F=15．

【归纳证明】
猜想：y_E=y_F；
证明：点A（m，0），B（n，0）（n＞m＞0）．
由抛物线的解析式知：C（m，m²）、D（n，n²）；
设直线OC的解析式：y=kx，代入点C的坐标：
km=m²，k=m
即：直线OC：y=mx；
同理：直线OD：y=nx．
∴E（n，mn）、F（m，mn）
即y_E=y_F．

【拓展应用】
（1）y_E=y_F．证法同（2），不再复述．
（2）综合上面的结论，可得出E、F的纵坐标相同，即EF∥x轴，则四边形ABEF是矩形；
∵S_{四边形OFEB}=3S_△OFE，
∴

1

2

（FE+OB）•BE=3×

1

2

FE•BE，
∴OB=2FE，
∵四边形ABEF是矩形，
∴FE=AB，
∴OA=OB-AB=2FE-FE=FE，
又∵EF∥x轴，
∴四边形OFEA是平行四边形．

点评：本题主要考查的是函数解析式的确定、图形面积的解法、四边形的判定等知识，综合性较强，由浅入深的引导方式进一步降低了题目的难度，对于基础知识的掌握是解题的关键．