如图1:已知△ABC中.∠BAC=90°.AB=AC.在∠BAC内部作∠MAN=45°．AM.AN分别交BC于点M.N．[操作](1)将△ABM绕点A逆时针旋转90°.使AB边与AC边重合.把旋转后点M的对应点记作点Q.得到ACQ.请在图1中画出△ACQ,[探究]中作图的基础上.连接NQ.①求证“MN=NQ ,②写出线段BM.MN和NC之间满足的数量关系.并简要说明� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

6．如图1：已知△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，在∠BAC内部作∠MAN=45°．AM、AN分别交BC于点M，N．
【操作】
（1）将△ABM绕点A逆时针旋转90°，使AB边与AC边重合，把旋转后点M的对应点记作点Q，得到ACQ，请在图1中画出△ACQ；（不写出画法）
【探究】
（2）在（1）中作图的基础上，连接NQ，
①求证“MN=NQ”；
②写出线段BM，MN和NC之间满足的数量关系，并简要说明理由．
【拓展】
如图2，在等腰△DEF中，∠EDF=45°，DE=DF，点P是EF边上任意一点（不与E，F重合），连接DP，以DP为腰向两侧分别作顶角均为45°的等腰△DPG和等腰△DPH，分别交DE，DF于点K，L，连接GH，分别交DE，DF于点S，T．
（3）线段GS，ST和TH之间满足的数量关系是ST²=GS²+TH²；
（4）设DK=a，DE=b，求DP的值．（用a，b表示）

分析（1）根据旋转中心、旋转方向和旋转角度进行作图即可；（2）先根据SAS判定△MAN≌△QAN，进而得出结论，再由全等三角形和旋转，得出MN=NQ，MB=CQ，最后根据Rt△NCQ中的勾股定理得出结论；（3）运用②中的方法即可得出类似的加仑；（4）先判定△DPK∽△DEP，再根据相似三角形对应边成比例，列出比例式进行求解．

解答解：（1）如图，△ACQ即为所求；
（2）①证明：由旋转可得，△ABM≌△ACQ
∴AM=AQ，∠BAM=∠CAQ
∵∠MAN=45°，∠BAC=90°
∴∠BAM+∠NAC=45°
∴∠CAQ+∠NAC=45°，即∠NAQ=45°
在△MAN和△QAN中
$\left\{\begin{array}{l}{AM=AQ}\\{∠MAN=∠QAN}\\{AN=AN}\end{array}\right.$
∴△MAN≌△QAN（SAS）
∴MN=NQ
②MN²=BM²+NC²
由①中可知，MN=NQ，MB=CQ
又∠NCQ=∠NCA+ACQ=∠NCA+∠ABM=45°+45°=90°
在Rt△NCQ中，NQ²=CQ²+NC²，即MN²=BM²+NC²
（3）ST²=GS²+TH²
（4）如图，∵DE=DF，DG=DP，∠EDF=∠GDP=45°
∴∠DPK=∠DEP
又∵∠PDK=∠EDP
∴△DPK∽△DEP
∴$\frac{DP}{DE}=\frac{DK}{DP}$，即DP²=DK•DE
∵DK=a，DE=b
∴DP=$\sqrt{ab}$

点评本题主要考查了图形的旋转、全等三角形以及相似三角形，解决问题的关键是掌握旋转变换思想方法在解决问题过程中的应用．解题时注意：①旋转不改变图形的形状和大小（即旋转前后的两个图形全等），②任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等（都是旋转角），③经过旋转，对应点到旋转中心的距离相等．

	A．	菱形的四条边都相等
	B．	一组邻边垂直的平行四边形是矩形
	C．	对角线相等且互相垂直的四边形是正方形
	D．	矩形是特殊的平行四边形，正方形既是特殊的矩形也是特殊的菱形

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