Question

【题目】如图，等边△ABC的边长为4，D是直线BC上任一点，线段DA绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，连接CE．

（1）当点D是BC的中点时，如图1，判断线段BD与CE的数量关系　 　；

（2）当点D是BC边上任一点时，如图2，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由；

（3）当点D是BC延长线上一点且CD＝1时，如图3，求线段CE的长．

Answer 1

【答案】（1）BD＝CE；（2）仍然成立，理由详见解析；（3）5．

【解析】

（1）如图，连接AE，根据段AD绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，得到AD＝DE，推出△ADE是等边三角形，由△ABC是等边三角形，根据等边三角形的性质得到AB＝AC证得AC垂直平分DE，根据线段垂直平分线的性质的即可得到结论；

（2）如图2，连接AE，由（1）得△ADE是等边三角形，得到AD＝AE，∠DAE＝60°，根据等边三角形的性质得到AB＝AC，∠BAC＝60°，证得∠BAD＝∠CAE，推出△ABD≌△AEC，由全等三角形的性质得到BD＝CE；

（3）如图3，连接AE，方法同（2）．

解：（1）如图1中，连接AE，

∵段AD绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，

∴AD＝DE，

∵∠ADE＝60°，

∴△ADE是等边三角形，

∵△ABC是等边三角形，

∴AB＝AC，且BD＝CD，

∴∠CAD＝30°，

∴AC垂直平分DE，

∴CD＝CE，

∴BD＝CE，

故答案为：BD＝CE；

（2）仍然成立，

理由如下：如图2，连接AE，

由（1）得△ADE是等边三角形，

∴AD＝AE，∠DAE＝60°，

∵△ABC是等边三角形，

∴AB＝AC，∠BAC＝60°，

∴∠BAD＝∠CAE，

在△ABD于△ACE中，

∴△ABD≌△AEC（SAS），

∴BD＝CE，

（3）如图3，连接AE，

由（1）得△ADE是等边三角形，

∴AD＝AE，∠DAE＝60°，

∵△ABC是等边三角形，

∴AB＝AC，∠BAC＝60°，

∴∠BAD＝∠CAE，

在△ABD于△ACE中，

∴△ABD≌△AEC（SAS），

∴CE＝BD，

∵BD＝BC+CD＝5，

∴CE＝5．