Question

【题目】如图，是等边三角形，点，分别在上，且，与相交于点.

（1）求证：；

（2）如图2，将沿直线翻折得到对应的，过点作，交射线于点，与相交于点，连接.

①试判断四边形的形状，并说明理由.

②若四边形的面积为，，求的长.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①四边形为菱形，理由见解析，②CE=3

【解析】

（1）根据SAS证明：△ACE≌△CBD；（2）①根据（1）中：△ACE≌△CBD，得∠ACE=∠CBD，则∠DPC=∠ACB=60°，证明△CDB≌△CFG，可得CG=AB=AC，则四边形ABGC是菱形；②作高CH，设菱形ABGC的边长为a，根据菱形的面积列式为：ABCH=6，即aa=6，可得a的值，证明△BGF∽△PGB，列比例式可得FG的长，由△CDB≌△CFG，△ACE≌△CBD，根据对应边相等可得结论．

（1）证明：

是等边三角形，

，.

又，

.

（2）解：①四边形为菱形，理由如下：

由翻折可知：

四边形为平行四边形.

，

平行四边形为菱形.

图2

②过作于点.

设菱形的边长为.

为等边三角形，

菱形的面积为，

，即.

四边形是菱形，

又

为公共角，

，即

.