Question

10．二次函数y=ax²+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）图象的对称轴是直线x=1，其图象的一部分如图所示，对于下列说法：
①abc＜0；②a-b+c＜0；③3a+c＜0；④2a+b=0；⑤b²-4ac＜0；⑥当-1＜x＜3时，y＞0．
其中正确的是①②③④ （把正确的序号都填上）．

Answer 1

分析 由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴判定b与0的关系以及2a+b=0；当x=-1时，y=a-b+c；由抛物线和x轴的交点个数判断b²-4ac的符号；然后由图象确定当x取何值时，y＞0．

解答 解：①∵开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴在y轴右侧，
∴-$\frac{b}{2a}$＞0，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c＞0，
∴abc＜0，故正确；
②∵对称轴为直线x=1，抛物线与x轴的一个交点横坐标在2与3之间，
∴另一个交点的横坐标在0与-1之间；
∴当x=-1时，y=a-b+c＜0，故正确；
③∵2a+b=0，
∴b=-2a，
∵当x=-1时，y=a-b+c＜0，
∴a-（-2a）+c=3a+c＜0，故正确；
④∵对称轴x=-$\frac{b}{2a}$=1，
∴2a+b=0；故正确；
⑤∵抛物线和x轴有2个交点，
∴b²-4ac＞0，故错误；
⑥如图，当-1＜x＜3时，y不只是大于0．故错误；
∴正确的有4个．
故答案为①②③④．

点评 本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是熟练掌握①二次项系数a决定抛物线的开口方向，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于（0，c）．