Question

如图，△ABC中，AB=AC=a，∠ABC=72°，BD平分∠ABC，DE∥BC，EF平分∠AED，FG∥BC，则FG长为

（

5 -1

2

）³a

．

Answer 1

分析：由AB=AC=a，DE∥BC，易得梯形BCDE是等腰梯形，即可得BE=CD，又由BD平分∠ABC，DE∥BC，易得BE=DE，即可得BE=DE=CD，易证得△AED≌△BDC与△BDC∽△ABC，然后设BC=x，则DC=AB-AD=a-x，易得方程x²=a（a-x），即可求得BC的长，同理可求得FG长．

解答：解：∵AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC=72°，
∴∠A=36°，
∵DE∥BC，
∴梯形BCDE是等腰梯形，
∴BE=CD，
∵EF平分∠AED，
∴∠EBD=∠DBC=

1

2

∠ABC=36°=∠A，
∵DE∥BC，
∴∠EDB=∠DBC，∠ADE=∠C，
∴∠EDB=∠EBD，
∴DE=BE，
∴ED=DC，
在△AED和△BDC中，
∵

∠A=∠DBC ∠ADE=∠C DE=CD

，
∴△AED≌△BDC（AAS），
∴BC=AD，
∵∠C=∠C，∠DBC=∠A，
∴△BDC∽△ABC，
∴

DC

BC

=

BC

AC

，
即BC²=DC•AC，
设BC=x，则DC=AB-AD=a-x，
∴x²=a（a-x），
解得：x=

5 -1

2

a，
∴BC=AD=

5 -1

2

a，
同理：DE=AF=

5 -1

2

AD=（

5 -1

2

）²a，
FG=

5 -1

2

AF=

5 -1

2

×（

5 -1

2

）²a=（

5 -1

2

）³a．
故答案为：（

5 -1

2

）³a．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质以及等腰梯形的判定与性质．此题综合性较强，难度较大，注意数形结合思想与方程思想的应用．