Question

【题目】如图，在正方形ABCD中，点E是BC边所在直线上一动点（不与点B、C重合），过点B作BF⊥DE，交射线DE于点F，连接CF．

（1）如图，当点E在线段BC上时，∠BDF=α．

①按要求补全图形；

②∠EBF=______________（用含α的式子表示）；

③判断线段 BF，CF，DF之间的数量关系，并证明．

（2）当点E在直线BC上时，直接写出线段BF，CF，DF之间的数量关系，不需证明．

Answer 1

【答案】（1）①见解析；②45°-α；③线段BF，CF，DF之间的数量关系是，证明见解析；（2），，

【解析】

(1)①由题意补全图形即可；
②由正方形的性质得出，由三角形的外角性质得出，由直角三角形的性质得出即可；
③在DF上截取DM=BF，连接CM，证明△CDM≌△CBF，得出CM=CF，∠DCM=∠BCF，得出MF=即可得出结论；
(2)分三种情况：①当点E在线段BC上时，DF=BF+，理由同(1)③；

②当点E在线段BC的延长线上时，BF=DF+，在BF_上截取BM=DF，连接CM.同(1)③得△CBM≌△CDF得出CM=CF，∠BCM=∠DCF，证明△CMF是等腰直角三角形，得出MF=，即可得出结论；

③当点E在线段CB的延长线上时，BF+DF=，在DF上截取DM=BF，连接CM，同(1)③得:ACDM≌△CBF得出CM=CF，∠DCM=∠BCF，证明△CMF是等腰直角三角形，得出MF=，即可得出结论.

（1）①如图，

②∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ABC=90°，，

∴，

∵BF⊥DE,

∴∠BFE=90°，

∴,

故答案为：45°-α；

③线段BF，CF，DF之间的数量关系是.

证明如下：在DF上截取DM=BF，连接CM.如图2所示，

∵ 正方形ABCD，

∴ BC=CD，∠BDC=∠DBC=45°，∠BCD=90°

∴∠CDM=∠CBF=45°-α，

∴△CDM≌△CBF（SAS）.

∴ DM=BF， CM=CF，∠DCM=∠BCF.

∴ ∠MCF =∠BCF+∠MCE

=∠DCM+∠MCE

=∠BCD=90°，

∴ MF =.

∴

（2）分三种情况：①当点E在线段BC上时，DF=BF+，理由同(1)③；
②当点E在线段BC的延长线上时，BF=DF+，理由如下：
在BF上截取BM=DF，连接CM，如图3所示，

同(1)③，得：△CBM≌△CDF(SAS)，

∴CM=CF，∠BCM=∠DCF.
∴∠MCF=∠DCF+∠MCD=∠BCM+∠MCD=∠BCD=90°，
∴△CMF是等腰直角三角形，
∴MF=，
∴BF=BM+MF=DF+；

③当点E在线段CB的延长线上时，BF+DF=；理由如下：

在DF上截取DM=BF，连接CM，如图4所示，
同（1）③得：△CDM≌△CBF，

∴CM=CF，∠DCM=∠BCF，
∴∠MCF=∠DCF+∠MCD=∠DCF+∠BCF=∠BCD=90°，
∴△CMF是等腰直角三角形，

∴MF=,
即DM+DF=，

∴BF+DF=;
综上所述，当点E在直线BC上时，线段BF，CF，DF之间的数导关系为：，或，或.