题目内容
11、（1）有n个整数，其和为零，其积为n．求证：n是4的倍数；
（2）设n是4的倍数，求证：可以找到n个整数，其积为n，其和为零．
（2）设n是4的倍数，求证：可以找到n个整数，其积为n，其和为零．
分析：（1）设出n个整数，列出a1a2…an=n，a1+a2+…+an=0；进一步利用数的奇偶性解答即可；
（2）设n=4k，分k为奇数或偶数两种情况进行讨论，利用1或-1的特殊性质解答即可．
（2）设n=4k，分k为奇数或偶数两种情况进行讨论，利用1或-1的特殊性质解答即可．
解答：证明：（1）设n个整数为a1，a2，…，an，由题意得，
a1a2…an=n，a1+a2+…+an=0；
如果n为奇数，那么a1，a2，…，an均为奇数，于是a1+a2+…+an是奇数个奇数的和，不可能为0，所以n必为偶数，从而a1，a2，…，an中至少有一个是偶数；
又若a1，a2，…，an中只有一个偶数，设为a1，则a2+a3+…+an是奇数个（n-1个）奇数之和，故必为奇数，从而a1+a2+…+an是奇数，与a1+a2+…+an=0矛盾；
故a1，a2，…，an中至少有两个偶数，所以n=a1a2…an能被4整数．
（2）设n=4k．
当k为奇数时，n=2•（-2k）•13k-2•（-1）k，而2，-2k，（3k-2）个1与k个-1共4k个数之和为零；
当k为偶数时，n=（-2）（-2k）•13k•（-1）k-2，而-2，-2k，3k个1与（k-2）个-1共4k个数之和为零．
a1a2…an=n，a1+a2+…+an=0；
如果n为奇数，那么a1，a2，…，an均为奇数，于是a1+a2+…+an是奇数个奇数的和，不可能为0，所以n必为偶数，从而a1，a2，…，an中至少有一个是偶数；
又若a1，a2，…，an中只有一个偶数，设为a1，则a2+a3+…+an是奇数个（n-1个）奇数之和，故必为奇数，从而a1+a2+…+an是奇数，与a1+a2+…+an=0矛盾；
故a1，a2，…，an中至少有两个偶数，所以n=a1a2…an能被4整数．
（2）设n=4k．
当k为奇数时，n=2•（-2k）•13k-2•（-1）k，而2，-2k，（3k-2）个1与k个-1共4k个数之和为零；
当k为偶数时，n=（-2）（-2k）•13k•（-1）k-2，而-2，-2k，3k个1与（k-2）个-1共4k个数之和为零．
点评：此题主要考查数的奇偶性以及利用1或-1的一些特殊性质解决问题．
练习册系列答案
小学教材全测系列答案
小学数学口算题卡脱口而出系列答案
优秀生应用题卡口算天天练系列答案
浙江之星课时优化作业系列答案
相关题目
如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点（横纵坐标都为整数的点），其顺序按图中“→”方向排列，如：（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0），（4，0），（4，1），…，观察规律可得，该排列中第100个点的坐标是（ ）
如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点（横纵坐标都为整数的点），其顺序按图中“→”方向排列，如：（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0），（4，0），（4，1），…，观察规律可得，该排列中第100个点的坐标是