题目内容

如图，已知A、C两点在双曲线上，点C的横坐标比点A的横坐标多2，AB⊥x轴，CD⊥x轴，CE⊥AB，垂足分别是B、D、E．
（1）当A的横坐标是1时，求△AEC的面积S₁；
（2）当A的横坐标是n时，求△AEC的面积S_n；
（3）当A的横坐标分别是1，2，…，10时，△AEC的面积相应的是S₁，S₂，…，S₁₀，求S₁+S₂+…+S₁₀的值．

解：（1）∵点A的坐标为（1，1），
∴反比例函数的比例系数k为1×1=1；
∵A的横坐标是1，点C的横坐标比点A的横坐标多2，
∴点A的纵坐标为1，点C的横坐标为3，纵坐标为 $\text{[math]}$ ，
∴△AEC的面积S₁= $\text{[math]}$ ×AE×EC= $\text{[math]}$ ×2×（1- $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ；

（2）由（1）可得当A的横坐标是n时，△AEC的面积S_n= $\text{[math]}$ ×2×（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ；

（3）S₁+S₂+…+S₁₀=（1- $\text{[math]}$ ）+（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）+（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）+（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）+（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）+…+（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）=1+ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
分析：（1）易得图中点A的坐标为（1，1），那么可得反比例函数的比例系数为1，△AEC的面积S₁= $\text{[math]}$ ×AE×EC，把相关数值代入即可；
（2）同理可得S_n的值；
（3）按得到的相应规律计算即可．
点评：本题是一道综合题，考查了反比例函数系数k的几何意义，关键是发现当横坐标为n时，所求的三角形的面积应等于 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ．