Question

如图所示，⊙M交两坐标轴于点A、B、C、D，已知A（6，0）、B（0，3）、C（-2，0）．
（1）求点D的坐标；
（2）求圆心M的坐标；
（3）若MN⊥AD于N，求证：MN=

1

2

BC．

Answer 1

分析：（1）首先得出△BCO∽△AOD，再利用相似三角形的性质得出OD的长，即可得出D点坐标；
（2）首先利用垂径定理得出AP的长，进而得出OP、QD的长，即可得出M点的坐标；
（3）利用勾股定理分别得出BC，AM，AD，MN的长，即可得出MN与BC的关系．

解答：（1）解：∵∠BOC=∠AOD=90°，∠CBO=∠OAD，
∴△BCO∽△AOD．　
∴

BO

OA

=

CO

OD

即

3

6

=

2

OD

，
∴OD=4，
∴点D的坐标是（0，-4）；

（2）解：作MP⊥x轴于P，MQ⊥y轴于Q，
∵AC=CO+OA=8，
∴AP=

1

2

AC=4，
∴OP=MQ=OA-AP=2，
∵BD=BO+OD=7，
∴QD=

1

2

BD=

7

2

，
∴OQ=PM=OD-QD=

1

2

，
∴点M的坐标是（2，-

1

2

）；

（3）证明：连接AM
在Rt△BOC中，BC=

BO2+CO2

=

13

，
在Rt△APM中，AM=

AP2+PM2

=

65

2

，
在Rt△AOD中，AD=

AO2+DO2

=2

13

，
则AN=

1

2

AD=

13

，
在Rt△AMN中，MN=

AM2+AN2

=

13

2

．
故MN=

1

2

BC．

点评：此题主要考查了相似三角形的性质与判定和勾股定理的应用和垂径定理等知识，根据垂径定理得出OQ，OP的长是解题关键．