Question

如图，L₁，L₂，L₃是同一平面内的三条平行直线，L₁与L₂间的距离是1，L₂与L₃间的距离是2，正三角形ABC的三顶点分别在L₁，L₂，L₃上，求△ABC的边长．

Answer 1

分析：根据题意作高AE，BG，CF（如图1）．根据等边三角形及直角三角形的性质，设AD=x，则AC=3x，于是DG=

x

2

，BG=

3

2

•3x=

3 3

2

x．根据三角形相似根据其相似比可求出DF，DE的长，再根据勾股定理即可解答．

解答：解：解法一：作高AE，BG，CF（如图1）．
设AD=x，则AC=3x，于是DG=

x

2

，BG=

3

2

•3x=

3 3

2

x．
由Rt△BDG∽Rt△CDF，
∴

BG

CF

=

DG

DF

，即

3 3 2 x

2

=

x 2

DF

，
∴DF=

2

3 3

，
∴DE=

1

3 3

，因此AD²=AE²+DE²=1+

1

27

=

28

27

，
∴AD=

28 27

，
∴AC=3x=3×

28 27

=

2 21

3

．

解法二：如图2，过A，C作AE，CF垂直于L₂，点E，F是垂足，
将Rt△BCF绕点B逆时针旋转60°至Rt△BAD处，延长DA交L₂于点G．
由作图可知：∠DBG=60°，AD=CF=2．
在Rt△BDG中，∠BGD=30°．在Rt△AEG中，∠EAG=60°，AE=1，AG=2，DG=4．
∴BD=

4 3

3

．
在Rt△ABD中，AB=

BD2+AD2

=

( 4 3 3 )2+22

=

2 21

3

．

解法三：如图3，设点B关于L₃的对称点是E，连接AE，CE，延长EB交L₁于点G，则CE=CB，
∵CA=CB，
∴点A，B，E在以C为圆心，CA为半径的圆上，
∴∠AEB=

1

2

∠ACB=30°，设AG=x，
在Rt△AEG中，AE=2x，而GE=5，
∴4x²=x²+25，得x²=

25

3

．
在Rt△ABG中，
∵AB²=BG²+AG²=1+

25

3

，
∴AB=

2 21

3

．

点评：此题比较复杂，结合了平行线的性质，等腰三角形，直角三角形的性质，是一道具有一定综合性的好题．