题目内容

已知，如图，正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF=45°，AG⊥EF于G，EG=2，FG=3，求AG的边长．小萍同学灵活运用旋转的知识，将图形进行旋转变换，巧妙地解答了此题．请按照小萍的思路，探究并解答下列问题：
（1）把△ADF绕点A顺时针旋转90°，得△ABH，请在图中画出旋转后的图形；
（2）判断H、B、E三点是否在一条直线上，若在，请证明：△AEF≌△AEH；若不在，请说明理由；
（3）设AG=x，利用勾股定理，建立关于x的方程模型，求出x的值．
（1）如图所示；


（2）根据旋转的性质，∠ABH=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABE=90°，
∴H、B、E三点在一条直线上，
由旋转的性质可知△ABH≌△ADF，
∴AH=AF，∠BAH=∠DAF，
∵∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠DAF=45°，
∴∠BAE+∠BAH=45°，
即∠EAH=45°，
∴∠EAH=∠EAF，
在△AEF和△AEH中，
AH=AF
∠EAH=∠EAF
AE=AE
，
∴△AEF≌△AEH（SAS）；

（3）∵△AEF≌△AEH，
∴AB=AG（全等三角形对应边上的高相等）
在Rt△ABE和Rt△AGE中，
AE=AE
AB=AG
，
∴Rt△ABE≌Rt△AGE（HL），
∴BE=EG=2，
同理DF=GF=3，
∴EC=x-2，FC=x-3，
在Rt△ECF中，由勾股定理得：（x-2）2+（x-3）2=52，
整理得：x2-5x-6=0，
解这个方程得：x1=6，x2=-1（不合题意，舍去），
∴x的值为6，
即AG=6．
练习册系列答案
相关题目
如图，正方形ABCD的边长为4cm，正方形AEFG的边长为1cm，如果正方形AEFG绕点A旋转，那么C，F两点
之间的距离的最大值为（　　）
A．5B．3C．5
2
D．3
2
一块空地，如图，AC=BC，∠ACB=90°，∠DCE=45°，AD=3m，BE=4m，在△ADC中种红花，△DCE中种紫花，△BCE中种黄花，红花、紫花、黄花每平方米要投入8元、10元、12元，问共需投入多少元？
如图，△ABC中A（-2，3），B（-3，1），C（-1，2）
（1）画出△ABC关于x轴、y轴对称的△A1B1C1和△A2B2C2；
（2）将△ABC绕原点O旋转180°，画出旋转后的△A3B3C3；
（3）在△A1B1C1，△A2B2C2，△A3B3C3中，△______与△______成轴对称，对称轴是______；（填一组即可）△______与△______成中心对称，对称中心的坐标是______．
如图，直线y=-
4
3
x+4与x轴，y轴分别交于A，B两点，把△AOB绕点A顺时针旋转90°后得到△AO′B′，则点B′的坐标是（　　）
A．（7，3）B．（4，5）C．（7，4）D．（3，4）
如图1，点O为直线AB上一点，过O点作射线OC，使∠AOC：∠BOC=1：2，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．
（1）将图1中的三角板绕点O按逆时针方向旋转至图2的位置，使得ON落在射线OB上，此时三角板旋转的角度为______度；
（2）继续将图2中的三角板绕点O按逆时针方向旋转至图3的位置，使得ON在∠AOC的内部．试探究∠AOM与∠NOC之间满足什么等量关系，并说明理由；
（3）在上述直角三角板从图1旋转到图3的位置的过程中，若三角板绕点O按15°每秒的速度旋转，当直角三角板的直角边ON所在直线恰好平分∠AOC时，求此时三角板绕点O的运动时间t的值．
如图1，正△ABC和正△FDE，F与B重合，AB与FD在一条直线上．
（1）若将△FDE绕点B旋转一定角度（如图2），试说明CD=AE；
（2）已知AB=6，DE=2
3
，把图1中的△FDE绕点B逆时针方向旋转90°（如图3），试判断四边形EBDC的形状，并说明你的理由；
（3）若把图1中的正△FDE沿BA方向平移（如图4），连接AE、BE，已知正△ABC和正△FDE的边长分别是5cm和2
3
cm，问在平移过程中，△ABE是否会成为等腰三角形？若能，直接写出FB的值；若不能，说明理由．
如图所示，在平面直角坐标系中，△OAB三个顶点的坐标O（0，0）、A（3，4）、B（5，2）．将△OAB绕原点O按逆时针方向旋转90°后得到△OA1B1，则点A1的坐标是______．
如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点均落在格点上．
（1）将△ABC绕点O顺时针旋转90°后，得到△A1B1C1，在网格中画出△A1B1C1；
（2）连接AB1、B1C，请直接写出四边形ABCB1的周长．

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