题目内容

如图，Rt△ABC的锐角顶点是直线y=x+m与双曲线y= $数学公式$ 在第一象限的交点，且S_△AOB=3，
（1）求m的值；（2）求S_△ABC的值．

解：（1）设A点坐标为（a，b）（a＞0，b＞0），则OB=a，AB=b，
∵S_△AOB= $\text{[math]}$ ab=3，∴ab=6，
又∵A在双曲线y= $\text{[math]}$ 上，
∴b= $\text{[math]}$ ，即ab=m，
∴m=6；

（2）∵点A是直线与双曲线的交点，
∴ $\text{[math]}$ ? $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ，
∵a＞0，b＞0，
∴A（-3+ $\text{[math]}$ ，3+ $\text{[math]}$ ），
由直线y=x+6知点C（-6，0），
∴OC=6，OB=-3+ $\text{[math]}$ ，AB=3+ $\text{[math]}$ ，
∴S_△ABC= $\text{[math]}$ （OB+OC）×AB，
= $\text{[math]}$ （-3+ $\text{[math]}$ +6）（3+ $\text{[math]}$ ）
=12+3 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）根据题意S_△AOB=3，即S_△AOB= $\text{[math]}$ ×x_A×y_A=3，得出x_A×y_A=m=6．
（2）由（1）可知直线解析式，即可得点C的坐标，由直线和曲线交点可得A点的坐标及BC的长度，从而可求得S_△ABC的面积．
点评：本题考查了反比例函数系数意义及函数图象上点的坐标特征，是基础题．