Question

13．如图，墙壁上的展品最高点与地面的距离PF=3.2m，最低点与地面的距离QF=2m，观赏者的眼睛E距地面1.6m，经验表明，当水平视线EH与过P、Q、E三点的圆相切于点E时，视角最大，站在此处观赏最理想，求此时点E到墙壁的距离EH．

Answer 1

分析 作OM⊥PQ于M，连结OE，如图，根据垂径定理得到PM=QM=0.6，再计算出QH=QF-HF=0.4，则MH=1，根据切线的性质得OE⊥HE，于是可判断四边形OEHM为矩形，所以OE=MH=1，OM=HE，然后在Rt△POM中，利用勾股定理计算出OM=0.8，从而得到HE=0.8m．

解答 解：作OM⊥PQ于M，连结OE，OP，如图，PM=QM，
∵PF=3.2，QF=2，
∴PQ=1.2，
∴PM=QM=0.6，
∵HF=1.6，
∴QH=QF-HF=0.4，
∴MH=0.4+0.6=1，
∵HE与⊙相切，
∴OE⊥HE，
而HE⊥PF，OM⊥PQ，
∴四边形OEHM为矩形，
∴OE=MH=1，OM=HE，
在Rt△POM中，OP=1，PM=0.6，
∴OM=$\sqrt{{1}^{2}-0．{6}^{2}}$=0.8，
∴HE=0.8m．
答：此时点E到墙壁的距离EH为0.8m．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查垂径定理和勾股定理．