如图.在平面直角坐标系中.Rt△ABC的三个顶点为A.以A为顶点的抛物线过点C.且与x轴另一交点为D．(1)求抛物线解析式,(2)动点P从A出发.沿线段AC向终点C运动.过点P作PG∥AB交抛物线于点G.求△ACG面积的最大值.并求出此时P点坐标,条件下.当△ACG面积最大时.抛物线上式否存在点Q.使得∠GAP+∠QDO=90°?若存在.求Q点坐标,若不存在.请说明理由� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

5．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点为A（1，4），（1，0），（3，0），以A为顶点的抛物线过点C，且与x轴另一交点为D．
（1）求抛物线解析式；
（2）动点P从A出发，沿线段AC向终点C运动，过点P作PG∥AB交抛物线于点G，求△ACG面积的最大值，并求出此时P点坐标；
（3）在（2）条件下，当△ACG面积最大时，抛物线上式否存在点Q，使得∠GAP+∠QDO=90°？若存在，求Q点坐标；若不存在，请说明理由．

分析（1）已知定点坐标以及抛物线上的点（3，0），利用待定系数法即可求得函数解析式；
（2）首先利用待定系数法求得AC的解析式，设P的横坐标是m，利用m可以表示出△ACG的面积，利用函数的性质求得P点坐标；
（3）首先求得G的坐标，然后作GH⊥AC于点H，求得AH和GH的长度，然后求得OD的长，根据相似三角形的性质即可解答．

解答解：（1）设抛物线的解析式是y=a（x-1）²+4，
把（3，0）代入得：4a+4=0，
解得：a=-1，
则抛物线的解析式是y=-（x-1）²+4，即y=-x²+2x+3；
（2）设AC的解析式是y=kx+b，根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{k+b=4}\\{3k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=6}\end{array}\right.$，
则AC的解析式是y=-2x+6．
设P的坐标是（m，-2m+6），
则S=$\frac{1}{2}$×2×（-m²+2m+3+2m-6）=-m²+4m-3，
则当m=2时，S有最大值．
则当x=2时，y=-4+6=2，则P的坐标是（2，2）；
（3）把x=2代入y=-x²+2x+3得y=-4+4+3=3，
则G的坐标是（2，3）．
设经过G且垂直于AC的直线的解析式是y=$\frac{1}{2}$x+c，把（2，3）代入得1+c=3，
解得：c=2，
则经过G且垂直于AC的直线HG的解析式是y=$\frac{1}{2}$x+2．
根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x+2}\\{y=-2x+6}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{8}{5}}\\{y=\frac{14}{5}}\end{array}\right.$，
则H的坐标是（$\frac{8}{5}$，$\frac{14}{5}$）．
则QH=$\sqrt{（2-\frac{8}{5}）^{2}+（3-\frac{14}{5}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，AH=$\sqrt{（\frac{8}{5}-1）^{2}+（4-\frac{14}{5}）^{2}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$．
则AH：HQ=3：1．
C（3，0）关于x=1的对称点是（-1，0），则与x轴另一交点D的坐标是（-1，），则OD=1，
抛物线y=-x²+2x+3中，当x=0时，y=3，即抛物线与y轴的交点是（0，3）．OE=3，
则OE：OD=3：1，
则当Q（0，3）时，△ODE∽△HQA，此时∠GAP+∠QDO=90°；
E关于x轴的对称点E′是（0，-3）．
设直线DE′的解析式是y=mx+n，
则$\left\{\begin{array}{l}{-m+n=0}\\{n=-3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-3}\\{n=-3}\end{array}\right.$，
则直线DE′的解析式是y=-3x-3．
根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{y=-{x}^{2}+2x+3}\\{y=-3x-3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=6}\\{y=-2}\end{array}\right.$．
则Q的坐标是（6，-2）．
总之，Q的坐标是（0，3）或（6，-2）．