Question

已知△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，点D是腰AC上的一个动点，过C作CE垂直于BD的延长线，垂足为E．

（1）若BD是AC边上的中线，如图1，求的值；
（2）若BD是∠ABC的角平分线，如图2，求的值.

Answer 1

（1）；（2）2.

试题分析：设AB=AC=1，CD=x，应用勾股定理和相似三角形的判定和性质，把用x来表示，
（1）若BD是AC的中线，则CD=AD，据此求出的值；
（2）若BD是∠ABC的角平分线，则由Rt△ABD∽Rt△EBC得，据此求出的值.
试题解析：设AB=AC=1，CD=x，则0＜x≤1，BC=，AD=1－x．
在Rt△ABD中，BD²=AB²+AD²=1+（1－x）²=x²－2x+2．
由已知可得Rt△ABD∽Rt△ECD，
∴，即，∴.
∴，0＜x≤1.
（1）若BD是AC的中线，则CD=AD=x=，得.
（2）若BD是∠ABC的角平分线，则Rt△ABD∽Rt△EBC，
∴，得，即，解得，.
∴.