Question

若对0＜x＜3上的一切实数x，不等式（m-2）x＜2m-1恒成立，则实数m的取值范围是（　　）

• A．

  1

  2

  ＜m＜5
• B．

  1

  2

  ≤m≤5
• C．

  1

  2

  ＜m＜

  5

  4

• D．

  1

  2

  ≤m≤

  5

  4

Answer 1

分析：先变形（m-2）x＜2m-1得到（x-2）m＜2x-1，讨论：当0＜x＜2，m＞

2x-1

x-2

，即m＞2+

3

x-2

；当x=2时，（x-2）m＜2x-1恒成立；当2＜x＜3时，m＜

2x-1

x-2

，即m＜2+

3

x-2

，而对0＜x＜3上的一切实数x，不等式（m-2）x＜2m-1恒成立，当x=0，m取最小值

1

2

，x=3时，m取最大值5，然后综合得到m的范围．

解答：解：（m-2）x＜2m-1变形得（x-2）m＜2x-1，
当0＜x＜2，m＞

2x-1

x-2

，即m＞2+

3

x-2

，
∵对0＜x＜3上的一切实数x，不等式（m-2）x＜2m-1恒成立，
∴x=0，m取最小值，m≥2-

3

2

，即m≥

1

2

；
当x=2时，（x-2）m＜2x-1恒成立，
当2＜x＜3时，m＜

2x-1

x-2

，即m＜2+

3

x-2

，
∴x=3时，m取最大值，m≤2+3，即m≤5，
∴实数m的取值范围是

1

2

≤m≤5．
故选B．

点评：本题考查了解一元一次不等式：根据不等式的性质先去括号（或去分母），再把含未知数的项移到不等式的左边，常数项移到右边，合并同类项后，然后把未知数的系数化为1即可．