Question

已知：在直角坐标系中，直线l₁为y=3x，点P在直线l₁上，经过点P和点Q（1，2）的直线为l₂，设在第一象限内直线l₁、直线l₂和x轴围成的三角形的面积为S，求S的最小值．

Answer 1

分析：由题意，求S的表达式，首先要求出三角形的点和高，由已知条件联立两直线求出三角形顶点坐标，从而求三角形的低和高，再根据函数的性质求出最值．

解答：解：∵直线l₁为y=3x，点P在直线l₁上，
设P（a，3a），Q（1，2），
∴直线l₂的解析式为：y-2=

3a-2

a-1

(x-1)；
令y=0，x=

a

3a-2

，
∴M（

a

3a-2

，0）；
∴在第一象限内直线l₁、直线l₂和x轴围成的三角形的面积为：
S=

1

2

×OM×h=

1

2

×

a

3a-2

×3a=

3a2

2(3a-2)

∴S=

1

6

×

(3a-2)2+4(3a-2)+4

3a-2

=

1

6

【(3a-2)+

4

3a-2

】+

2

3

≥

1

6

×2

(3a-2)× 4 3a-2

+

2

3

=

4

3

；
当3a-2=

4

3a-2

时，即a=

4

3

等号成立．
∴S的最小值为：

4

3

．

点评：此题考查一次函数的性质和不等式的性质，将S的表达式用a表示出来，然后利用不等式放缩求出最小值．