Question

（1）如图1，在△ABC中，点D、E、Q分别在AB、AC、BC上，且DE∥BC，AQ交DE于点P，求证：=；
（2）如图1，△ABC中，∠BAC=90°，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，连接AG，AF分别交DE于M，N两点．
①如图2，若AB=AC=1，直接写出MN的长；
②如图3，求证：MN²=DM•EN．

Answer 1

（1）证明：在△ABQ和△ADP中，
∵DP∥BQ，
∴△ADP∽△ABQ，
∴=，
同理在△ACQ和△APE中，
=，
∴=．

（2）①作AQ⊥BC于点Q．
∵BC边上的高AQ=，
∵DE=DG=GF=EF=BG=CF
∴DE：BC=1：3
又∵DE∥BC，
∴AD：AB=1：3，
∴AD=，DE=，
∵DE边上的高为，MN：GF=：，
∴MN：=：，
∴MN=．
故答案为：．

②证明：∵∠B+∠C=90°∠CEF+∠C=90°，
∴∠B=∠CEF，
又∵∠BGD=∠EFC，
∴△BGD∽△EFC，
∴=，
∴DG•EF=CF•BG，
又∵DG=GF=EF，
∴GF²=CF•BG，
由（1）得==，
∴×=•，
∴（）²=•，
∵GF²=CF•BG，
∴MN²=DM•EN．
分析：（1）可证明△ADP∽△ABQ，△ACQ∽△ADP，从而得出=；
（2）①根据三角形的面积公式求出BC边上的高，根据△ADE∽△ABC，求出正方形DEFG的边长，根据等于高之比即可求出MN；
②可得出△BGD∽△EFC，则DG•EF=CF•BG；又由DG=GF=EF，得GF²=CF•BG，再根据（1）==，从而得出答案．
点评：本题考查了相似三角形的判定和性质以及正方形的性质，是一道综合题目，难度较大．