题目内容

在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax²+bx+4经过A（-3，0）、B（4，0）两点，且与y轴交于点C，点D在x轴的负半轴上，且BD=BC，有一动点P从点A出发，沿线段AB以每秒1个单位长度的速度向点B移动，同时另一个动点Q从点C出发，沿线段CA以某一速度向点A移动．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若经过t秒的移动，线段PQ被CD垂直平分，求此时t的值；
（3）该抛物线的对称轴上是否存在一点M，使MQ+MA的值最小？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+4经过A（-3，0），B（4，0）两点，
∴ $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ ，
∴所求抛物线的解析式为：y=- $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x+4；

（2）如图1，依题意知AP=t，连接DQ，
∵A（-3，0），B（4，0），C（0，4），
∴AC=5，BC=4 $\text{[math]}$ ，AB=7．
∵BD=BC，
∴AD=AB-BD=7-4 $\text{[math]}$ ，
∵CD垂直平分PQ，
∴QD=DP，∠CDQ=∠CDP．
∵BD=BC，
∴∠DCB=∠CDB．
∴∠CDQ=∠DCB．
∴DQ∥BC．
∴△ADQ∽△ABC．
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
解得DP=4 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ，
∴AP=AD+DP= $\text{[math]}$ ．
∴线段PQ被CD垂直平分时，t的值为 $\text{[math]}$ ；

（3）如图2，设抛物线y=- $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x+4的对称轴x= $\text{[math]}$ 与x轴交于点E．点A、B关于对称轴x= $\text{[math]}$ 对称，连接BQ交该对称轴于点M．
则MQ+MA=MQ+MB，即MQ+MA=BQ，
∵当BQ⊥AC时，BQ最小，此时，∠EBM=∠ACO，
∴tan∠EBM=tan∠ACO= $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，解ME= $\text{[math]}$ ．
∴M（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），即在抛物线y=- $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x+4的对称轴上存在一点M（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），使得MQ+MA的值最小．
分析：（1）由抛物线y=ax²+bx+4经过A（-3，0），B（4，0）两点利用待定系数法可求出a、b、c的值，进而得出抛物线的解析式；
（2）由A、B、C三点的坐标求出AC、BC及AB的值，由相似三角形的判定定理得出△ADQ∽△ABC，再由相似三角形的对应边成比例可求出DP的值，进而可得出AP（即t）的值；
（3）设抛物线y=- $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x+4的对称轴x= $\text{[math]}$ 与x轴交于点E．点A、B关于对称轴x= $\text{[math]}$ 对称，连接BQ交该对称轴于点M．则MQ+MA=MQ+MB，即MQ+MA=BQ，由于当BQ⊥AC时，BQ最小，此时∠EBM=∠ACO，再由tan∠EBM=tan∠ACO= $\text{[math]}$ 可求出ME的值，进而得出M点的坐标．
点评：本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求二次函数的解析式、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数的定义等相关知识，难度较大．