Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，动点M，N分别从A，C同时向B，D匀速移动，且两点的运动速度相同，当动点M到达B点时，M，N同时停止运动，过点N作NP⊥CD，交BD于P点，当△BMP为等腰三角形时，AM＝_____．

Answer 1

【答案】1或或

【解析】

由△MPB为等腰三角形，分PM＝PB或PM＝MB或PB＝BM三种情况讨论，分别求x的值，即可解题．

解：延长NP交AB于点H，

∵在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，

∴AB＝CD＝3，AD＝BC＝4，BD＝5

∵点M，点N的运动速度相同，

∴AM＝CN

设AM＝CN＝x，则MB＝3﹣x，

∵PN⊥CD，∠ABC＝∠BCD＝90°

∴四边形BCNH是矩形

∴BH＝CN＝x，PN∥AD∥BC

∴△BPH∽△BDA

∴

∴

∴BP＝x，HP＝x，

当BP＝MP时，

∵PH⊥BM

∴BH＝HM＝x，

∵AM+MH+BH＝3x＝AB＝3

∴x＝1

当BM＝BP时，

∴x＝3﹣x

∴x＝

当MP＝BM时，

∴3﹣x＝

∴x＝

∴AM＝1或或

故答案为：1或或.