题目内容

已知⊙P的圆心坐标为（1.5，0），半径为2.5，⊙P与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴的负半轴交于点D．
（1）求D点的坐标；
（2）求过A、B、D三点的抛物线的解析式；
（3）设平行于x轴的直线交此抛物线于E、F两点，问：是否存在以线段EF为直径的圆O'恰好与⊙P相外切？若存在，求出其半径r及圆心O'的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）由已知，得OA=1，OB=4，
∴OD²=OA•OB=1×4，OD=2
∴D点的坐标为（0，-2）；

（2）设过A、B、D三点多抛物线解析式为y=ax²+bx+c，把A（-1，0）、B（0，-2）的坐标代入解析式，得：
$\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴过点A、B、D三点多抛物线的解析式为y= $\text{[math]}$ x²- $\text{[math]}$ x-2；

（3）存在．配方y= $\text{[math]}$ x²- $\text{[math]}$ x-2= $\text{[math]}$ （x- $\text{[math]}$ ）²- $\text{[math]}$
抛物线的对称轴为x= $\text{[math]}$ ，圆心O’应在对称轴上．分两种情况：
①当以线段EF为直径的圆O′在x轴上方时，F（ $\text{[math]}$ +r， $\text{[math]}$ +r）在抛物线y= $\text{[math]}$ x²- $\text{[math]}$ x-2上，
∴ $\text{[math]}$ +r= $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ +r）²- $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ +r）-2，
整理得4r²-8r-45=0，
解得r= $\text{[math]}$ 或r=- $\text{[math]}$ （舍去）
∴半径r= $\text{[math]}$ ．圆心O′（ $\text{[math]}$ ，7）；
②当以线段EF为直径的圆O′在x轴下方时：F（ $\text{[math]}$ +r，- $\text{[math]}$ -r）在抛物线y= $\text{[math]}$ x²- $\text{[math]}$ x-2上，
∴- $\text{[math]}$ -r= $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ +r）²- $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ +r）-2，
整理得4r²+8r-5=0，
解得r= $\text{[math]}$ 或r= $\text{[math]}$ （舍去）
∴半径r= $\text{[math]}$ ，圆心O′（ $\text{[math]}$ ）．
分析：（1）已知了圆心P坐标即圆P的半径，不难得出A、B的坐标，根据相交弦定理的推论，可得出OD²=OA•OB，即可求出OD的长，也就得出了D点的坐标．
（2）已知了A、B、D三点坐标，可用待定系数法求出抛物线的解析式．
（3）根据圆和抛物线的对称性可知：圆心O′和圆心P必在抛物线的对称轴上．本题应该分两种情况：①圆O′在x轴上方；②圆O′在x轴下方；解法一致：都是根据两圆外切的特点进行求解，由于两圆外切，那么圆心O′的纵坐标的绝对值就是两圆半径之和，可设出圆O′的半径，然后用圆O′的半径，表示出E或F的坐标，然后将E或F的坐标代入抛物线的解析式中，即可求得圆O′的半径长，也就可得出圆心O′的坐标．
点评：本题考查了二次函数解析式的确定、圆与圆的位置关系、抛物线与圆的对称性等知识，综合性强，难度较大．