Question

如图，已知抛物线y=x²+bx+c的图象与x轴的一个交点为B（5，0）．另一个交点为A，且与y轴交于点C（0，5）．
（1）求直线BC与抛物线的解析式；
（2）若点M是抛物线在x轴下方图象上的一个动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求MN的最大值；
（3）在（2）的条件下，MN取得最大值时，若点P在x轴上一点，以C、B、P为顶点的三角形与△CMN相似，求点P的坐标．

Answer 1

分析：（1）设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），然后利用待定系数法求一次函数解析式解答；把点B、C的坐标代入抛物线解析式，解方程组求出b、c的值，即可得到抛物线解析式；
（2）设点M（m，0），用直线BC的解析式和抛物线的解析式表示出MN的长，再根据二次函数的最值问题解答；
（3）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠CNM+∠CMN=∠CBA=45°，然后判断出∠CNM=∠CBP，由（2）求出求出CN的长，再分①BP和CN是对应边，②BP和MN是对应边，根据相似三角形对应边成比例列式求出BP，再求出OP，然后写出点P的坐标即可．

解答：解：（1）设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），
则

5k+b=0 b=5

，
解得

k=-1 b=5

，
所以，直线BC的解析式为y=-x+5，
∵抛物线y=x²+bx+c经过点B（5，0），C（0，5），
∴

25+5b+c=0 c=5

，
解得

b=-6 c=5

，
∴抛物线解析式为y=x²-6x+5；

（2）设M（m，0），则MN=（-m+5）-（m²-6m+5），
=-m²+5m，
=-（m-

5

2

）²+

25

4

，
∴当m=

5

2

时，MN的最大值=

25

4

；

（3）∵∠CNM+∠CMN=∠CBA=45°，
∴∠CNM=∠CBP，
由勾股定理得，BC=

52+52

=5

2

，
由（2）得CN=

1

2

BC=

5 2

2

，
①BP和CN是对应边时，△BPC∽△NCM，
∴

BP

CN

=

BC

MN

，
即

BP

5 2 2

=

5 2

25 4

，
解得BP=4，
∴OP=OB+BP=5+4=9，
点P₁（9，0），
②BP和MN是对应边时，△BPC∽△NMC，
∴

BP

MN

=

BC

CN

，
即

BP

25 4

=

5 2

5 2 2

，
解得BP=

25

2

，
∴OP=OB+BP=5+

25

2

=

35

2

，
点P₂（

35

2

，0），
综上所述，P₁（9，0），P₂（

35

2

，0）．

点评：本题是二次函数综合题，主要利用了待定系数法求函数解析式，二次函数的最值问题，相似三角形对应边成比例的性质，难点在于（3）要分情况讨论．