Question

3．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，AC=AB，请仅用无刻度的直尺画图（保留作图痕迹，不写作法）．

（1）△ABC的中线BE；
（2）以D为切点⊙O的切线DT．

Answer 1

分析 （1）先连接AD，CO，交于点F，则点F为△ABC的重心，连接BF并延长，交AC于E，则E是AC的中点，BE是△ABC的中线；
（2）过点D，E作直线DT，连接OD，则直线DT即为所求．

解答 解：（1）如图所示，∵AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，
∴AC⊥AB，
又∵AC=AB，
∴△ABC是等腰直角三角形，
连接AD，CO，交于点F，则AD⊥BC，
∴点D是BC的中点，
又∵O是AB的中点，
∴点F是△ABC的重心，
连接BF并延长，交AC于E，则E是AC的中点，
∴BE是△ABC的中线；

（2）如图所示，过点D，E作直线DT，连接OD，则直线DT即为所求．
由（1）可得，△ABD、△ACD都是等腰直角三角形，
∴OD⊥AB，DE⊥AC，
又∵AB⊥AC，
∴∠ODE=90°，
∴DE是⊙O的切线．

点评 本题主要考查了切线的性质以及三角形重心的运用，解决问题的关键是掌握：圆的切线垂直于经过切点的半径．