Question

（2012•香坊区二模）已知：在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2BC，D是线段AC上一点，E是线段CD上一点，过点D作DF⊥BE交BE的延长线于点F，连接CF．
（1）当点D是线段AC的中点时（如图1），求证：BF-DF=

2

CF：
（2）当点D与点A重合时，在线段EF上取点G，使GF=

1

2

DF，连接DG并延长交CF于点H，交 BC延长线相交于点P（如图2），CH：HF=4：5，EG=

3

4

，求PH的长．

Answer 1

分析：（1）过点C作CM⊥CF交BE于点M，可以证得△MCF是等腰直角三角形，则MF=

2

CF，证明BF-DF=MF即可；
（2）首先证明△ECF∽△EBD，得到∠EFC=∠BDC，则可以证明△HFG∽△HDF，△HFG∽△HDF，根据CH∥BD，可以证得：△PCH∽△PBD，根据相似三角形的对应边的比相等，即可求得．

解答：证明：（1）过点C作CM⊥CF交BE于点M．
∵∠BCM+∠ECM=∠DCF+∠ECM=90°，
∴∠BCM=∠DCM
∵∠CBM+∠CEM=∠FDC+∠FED=90°，
∴∠CEM=∠FED
∴∠CBM=∠FDC
∵点D是AC的中点，
∴AC=2CD，
∵AC=2BC
∴CD=BC
∴△CBM≌△CDF，
∴BM=DF，CM=CF，
∵∠MCF=90°，
∴△MCF是等腰直角三角形，
∴∠CMF=45°，
∴sin45°=

CF

MF

，
∴MF=

2

CF，
∵BF-BM=MF，
∴BF-DF=

2

CF；
（2）设CH=4k，
∵CH：HF=4：5，
∴HF=5k，
∴∠BCE=∠DFE，∠CEB=∠FED，
∴△ECB∽△EFD，
∴

CE

FE

=

BE

DE

，
∴

CE

BE

=

FE

DE

，
∵∠CEF=∠BED，
∴△ECF∽△EBD，
∴∠EFC=∠BDC，
∵Rt△ACB中，tan∠BAC=

BC

AC

=

1

2

，在Rt△GFD中，tan∠FDG=

FG

DF

=

1

2

，
∴∠BDC=∠FDG=∠EFC，
又∵∠FHG=∠DHF
∴△HFG∽△HDF
∴

HF

DH

=

HG

HF

=

GF

DF

=

1

2

，
∴HG=

5

2

k，DH=10k，
∴GD=

15

2

k，
∴在Rt△GFD中，GF=

3 5

2

k，DF=3

5

k，
∴

DF

FH

=

FC

DF

又∵∠HFD=∠DFC
∴△FHD∽△FDC，
∴∠FDH=∠FCD=∠BDC，
∴CF∥AB
∴∠FBD=∠BFC=∠FDH，
∴tan∠FBD=

1

2

，
∴在Rt△FBD中，BF=6

5

k，AB=15k，
∴EF=

3 5

2

k+

3

4

，BE=

9 5

2

k-

3

4

，
∴△CEF∽△BED，
∴

EF

ED

=

CF

DB

，即

3 5 2 k+ 3 4

9 5 k 2 - 3 4

=

9k

15k

，
∴k=

5

5

，
∴HD=10k=2

5

，
∵CH∥BD，
∴△PCH∽△PBD，
∴

PH

PH+HD

=

CH

BD

=

4k

15k

，
∴

PH

PH+2 5

=

4

15

，
∴PH=

8 5

11

．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，正确根据相似三角形的对应边的比相等，用k表示PH、HD的长度是关键．