Question

【题目】如图，二次函数 的图像交 轴于 ，交 轴于点 ，连接直线 .

（1）求二次函数的解析式；
（2）点 在二次函数的图像上，圆 与直线 相切，切点为 .
①若 在 轴的左侧，且△ ∽△ ，求点 的坐标；
②若圆 的半径为4，求点 的坐标.

Answer 1

【答案】
（1）解：∵将x=1，y=0，x=-2，y=0代入y=ax2+bx-2得 ，解得：

∴抛物线的解析式为y=x2+x-2

（2）解：解①∵圆P与直线AC相切，∴PH⊥AC．

（i）如图1，当H在点C下方时，

①∵△CHP∽△AOC，

∴∠PCH=∠CAO．

∴CP∥x轴．

∴yP=-2．

∴x2+x-2=-2．解得x1=0（舍去），x2=-1，

∴P（-1，-2）．

（ii）如图1，当H′在点C上方时．

∵∠P′CH′=∠CAO，

∴QA=QC，设OQ=m，则QC=QA=m+1，

在Rt△QOC中，由勾股定理，得m2+22=（m+1）2，

解得，m= ，即OQ= ；

设直线C P′的解析式为y=kx-2，把Q（- ，0）的坐标代入，得 k-2=0，解得k=- ，

∴y=- x-2，由- x-2=x2+x-2，解得x1=0（舍去），x2= ，此时y=- ×（- ）-2= ，

∴P′（- ， ）．

∴点P的坐标为（-1，-2）或（- ， ）②在x轴上取一点D，

如图（2），过点D作DE⊥AC于点E，使DE=4．

在Rt△AOC中，AC= ，

∵∠COA=∠DEA=90°，∠OAC=∠EAD，

∴△AED∽△AOC．

∴ ，即 ，解得AD=2 ，

∴D（1-2 ，0）或D（1+2 ，0）．过点D作DP∥AC，交抛物线于P，设直线AC的解析式为y=kx+b．将点A、C的坐标代入抛物线的解析式得到：

解得：

∴直线AC的解析式为y=2x-2．

∴直线PD的解析式为y=2x+4 -2或y=2x-4 -2，当2x+4 -2=x2+x-2时，即x2-x-4 =0，解得x1= ，x2= ；

当2x-4 -2=x2+x-2时，即x2-x+4 =0，方程无实数根．

∴点P的坐标为（ ， ）或（ ，- ）．

【解析】（1）把A、B坐标代入求出a、b的值，得到二次函数的解析式；（2）由圆P与直线AC相切，当H在点C下方时，由△CHP∽△AOC，得到CP∥x轴，求出点P的坐标；当H′在点C上方时，根据勾股定理求出OQ的值，得到点P的坐标；由已知得到△AED∽△AOC，得到比例，求出AD的值，根据勾股定理求出AC的值，将点A、C的坐标代入抛物线的解析式，得到直线AC的解析式和直线PD的解析式，求出点P的坐标；此题是综合题，难度较大，计算和解方程时需认真仔细.