Question

18．如图，在扇形AOB中，∠AOB=60°，AO=6，点D为$\widehat{AB}$的中点，C为半径OA上一动点（点A除外），沿CD对折后点A恰好落在扇形AOB的边线OB或OA上，AC的长可以是6-3$\sqrt{3}$或6或9-3$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 根据点A′落在半径OA上．可以画出相应的图形，可知点A与点A′关于点CD对称，从而可以得到DA′=DA，由点C为弧AB的中点，∠AOB=60°，OD=OA=6，可以求得OC的长，从而可以求得AC的长；
根据点A′落在半径OB上，画出相应的图形，由C为半径OB上一动点（点A除外），设点A关于直线CD的对称点为A′，可知DB=DA′=DA，由点D为弧AB的中点，∠AOB=60°，OD=OA=6，可以求得DF和AF的长，从而可以求得BA′的长，进而得到A′C的长；根据题意A′C的长与AC的长相等，可以求得AC的长．

解答 解：①当点E落在半径OA上时，连接OD，如图1所示，
∵∠ACD=90°，∠AOB=60°，点D为弧AB的中点，点A（2，0），
∴∠COD=30°，OA=OD=6，
∴OC=OD•cos30°=6×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3$\sqrt{3}$，
∴AC=OA-OC=6-3$\sqrt{3}$；
②如图2，沿CD对折后点A恰好落在边线OB上，且A′和B重合时，
则C和O重合，此时，AC=OA=6；
③沿CD对折后点A恰好落在边线OB上，且A′和B不重合时，如图3；
连接OD、BD、AD，作DF⊥OA于F，
∵∠AFD=90°，∠AOB=60°，点D为弧AB的中点，
∴∠AOD=∠BOD=30°，∠OAD=∠OBD，
∵OA=OD=6，
∴DF=OD•sin30°=6×$\frac{1}{2}$=3，∠OAD=75°，
∴OF=OD•cos30°=6×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3$\sqrt{3}$，
∴AF=OA-OD=6-3$\sqrt{3}$，
∵DA′=DA=DB，∠OAD=∠OBD=75°，
∴BA′=2AF=12-6$\sqrt{3}$，∠DA′B=∠OBD=75°，
∴OA′=OB-BA′=6-（12-6$\sqrt{3}$）=6$\sqrt{3}$-6，
∵∠CA′D=∠CAD=75°，
∴∠BA′C=150°，
∴∠OA′C=30°，
∴∠A′CO=90°，
∴CA′=OA′•sin60°=（6$\sqrt{3}$-6）×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=9-3$\sqrt{3}$，
∴AC=CA′=9-3$\sqrt{3}$．
故答案为：6-3$\sqrt{3}$或6或9-3$\sqrt{3}$．

点评 本题考查圆的综合题、特殊角的三角函数值，解题的关键是明确题意，画出相应的图形，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．