Question

Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6厘米，BC=8厘米，动点P从点A开始在线段AC上以1厘米/秒的速度向点C移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以2厘米/秒的速度向点A移动，当一个动点先运动到终点时，整个运动过程结束．设点P、Q移动的时间为t秒．
（1）设△APQ的面积为y（厘米²），请你求出y与t的函数关系式，写出自变量t的取值范围，并求出当t为何值时，△APQ的面积最大；
（2）在整个运动过程中，是否会存在以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请你求出此时t的值；若不存在，请你说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据已知条件求出AB的长，再过点Q作QH⊥AC，交AC与点H，的长△QHA∽△BCA，求出

QH

BC

=

AQ

AB

，即可求出QH的值，最后求S_△APQ的值；
（2）存在在以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，此小题要分两种情况进行讨论，①当∠APQ=90°时，△APQ∽△ABC，求出t的值；②当∠PQA=90°时，△APQ∽△ABC，求出t的值，经检验它们都符合题意即可．

解答：解：（1）∵BC=8，AC=6，得AB=10，
∴AP=t，CP=6-t，BQ=2t，AQ=10-2t，
过点Q作QH⊥AC，交AC与点H，
∴△QHA∽△BCA，
∴

QH

BC

=

AQ

AB

，
∴

QH

8

=

10-2t

10

，
∴QH=8-

8

5

t，
∴S_△APQ=

1

2

AP•QH=

1

2

t（8-t）=4t-

4

5

t²；
当t=

4

4 5 ×2

=

5

4

时，面积有最大值，是4×

5

4

-

4

5

×（

5

4

）²=5-

5

4

=

15

4

；
（2）①当∠APQ=90°时，△APQ∽△ABC，
则

AQ

AB

=

AP

AC

，
∴

10-2t

10

=

t

6

，
∴t=

30

11

；
②当∠PQA=90°时，△APQ∽△ABC，
则

AQ

AC

=

AP

AB

，
则

10-2t

6

=

t

10

，
解得t=

50

13

，
当t为

30

11

或

50

13

时，经检验，它们都符合题意，此时△AQP和△ABC相似，
故存在以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质；此题运用函数的思想，列出函数表达式，再利用函数列出表达式代入数值进行求解，关键是第二问分两种种情况进行讨论，不要漏掉．