Question

已知：如图，四边形ABCD内接于以BC为直径的⊙O，且AB=AD，延长CB、DA，交于P点，CE与⊙O相切于点C，CE与PD的延长线交于点E．当PB=OC，CD=18时，求DE的长．

Answer 1

【答案】分析：连接OA、BD，OA与BD交于F点，根据垂径定理由AB=AD得到OA⊥BD，BF=DF，则OF=DC=9，根据圆周角定理的推论由BC为⊙O的直径得到∠BDC=90°，则OA∥DC，得到△PAO∽△PDC，根据相似比可得到得OA=12，PA=PD，即PD=3AD，再根据勾股定理计算出BF=3，AB=6，则PD=18，然后根据切线的性质和切割线定理得到CE⊥PC，EC²=DE•EA，再利用勾股定理得EC²=PE²-PC²，于是得到关于DE的方程DE（DE+6）=（18+DE）²-36²，然后解方程即可．
解答：解：如图，连接OA、BD，OA与BD交于F点，
∵AB=AD，
∴弧AB=弧AD，
∴OA⊥BD，BF=DF，
而OB=OC，
∴OF=DC=9，
∵BC为⊙O的直径，
∴∠BDC=90°，
∴OA∥DC，
∴△PAO∽△PDC，
∴==，
∵PB=OC，CD=18，
∴==，解得OA=12，PA=PD，即PD=3AD，
∴AF=12-9=3，
在Rt△OAF中，BF==3，
在Rt△ABF中，AB==6，
∴PD=3×6=18，
∵CE与⊙O相切于点C，
∴CE⊥PC，EC²=DE•EA，
在Rt△PCE中，EC²=PE²-PC²，
∴DE•EA=PE²-PC²，即DE（DE+6）=（18+DE）²-36²，
∴DE=．
点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径．也考查了勾股定理、垂径定理、三角形相似的判定与性质以及切割线定理．