Question

如图，等腰△ABC中，AB=AC，D是BC上一点，且AD=BD．
（1）试说明：△ABC∽△DBA；
（2）若BD=3

2

，AB=2

6

，求BC的长；
（3）若

AD

BC

=

1

3

，求∠C的度数．

Answer 1

分析：（1）由等边对等角，可得∠B=∠C，∠B=∠DAB，即可求得△ABC∽△DBA；
（2）由相似三角形的对应边成比例，即可求得BC的长；
（3）由三角函数的性质，可求得∠B的值，即可求得∠C的值．

解答：解：（1）∵AB=AC，AD=BD，
∴∠B=∠C，∠B=∠DAB，
∴∠B=∠C=∠DAB，
∴△ABC∽△DBA；

（2）∵△ABC∽△DBA，
∴

BC

AB

=

AB

DB

，
即

BC

2 6

=

2 6

3 2

，
∴BC=4

2

；

（3）设AD=a，则BC=3a，BD=a，
作AH⊥BC于点H，则H为BC的中点，
∴DH=BH-BD=

3

2

a-a=

1

2

a，
在Rt△ADH中，cos∠ADH=

DH

AD

=

1 2 a

a

=

1

2

，
∴∠ADH=60°，
∵∠B+∠BAD=∠ADH，∠B=∠BAD，
∴∠B=30°，
∴∠C=∠B=30°．

点评：此题考查了等腰三角形中的等边对等角定理，以及相似三角形的判定与性质和三角函数的性质．此题综合性较强，但难度不大，解题时要注意细心．