Question

11．关于x的一元二次方程x²-（2m-1）x+m²+1=0．
（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；
（2）设x₁，x₂分别是方程的两个根，且满足x₁²+x₂²=x₁x₂+10，求实数m的值．

Answer 1

分析 （1）若一元二次方程有两实数根，则根的判别式△=b²-4ac≥0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围；
（2）利用根与系数的关系可以得到x₁+x₂=2m-1，x₁•x₂=m²+1，再把x₁²+x₂²=x₁x₂+10利用完全平方公式变形为（x₁+x₂）²-3x₁•x₂=10，然后代入计算即可求解．

解答 解：（1）由题意有△=（2m-1）²-4（m²+1）≥0，
解得m≤-$\frac{3}{4}$，
所以实数m的取值范围是m≤-$\frac{3}{4}$；

（2）由根与系数的关系得：x₁+x₂=2m-1，x₁•x₂=m²+1，
∵x₁²+x₂²=x₁x₂+10，
∴（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=x₁x₂+10，
∴（2m-1）²-3（m²+1）=10，
∴2m²+9m-5=0，
解得m₁=6，m₂=-2，
∵m≤-$\frac{3}{4}$，
∴m=6舍去，
∴m=-2．

点评 本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数关系，利用两根关系得出的结果必须满足△≥0的条件．