某学习小组学习了全等三角形的判定和性质以后.想运用全等三角形的知识去研究下面的问题:[问题提出]如图1.在△ABC和△DEF中.∠A=∠D.∠B=∠E.CM.FN分别是△ABC和△DEF的角平分线.且CM=FN.试证明△ABC≌△DEF．[问题思考]如图2.在△ABC和△DEF中.AC=DF.BC=EF.CM.FN分别是△ABC和△DEF的中线.且CM=FN.试探� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

某学习小组学习了全等三角形的判定和性质以后，想运用全等三角形的知识去研究下面的问题：
【问题提出】如图1，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，CM、FN分别是△ABC和△DEF的角平分线，且CM=FN，试证明△ABC≌△DEF．
【问题思考】如图2，在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，CM、FN分别是△ABC和△DEF的中线，且CM=FN，试探究∠B与∠E的关系，请写出你的结论：

（不要求证明）
【深入研究】小组同学进一步探究，若把问题2变为：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，CM、FN分别是△ABC和△DEF的高，且CM=FN，试探究∠B=∠E的关系，请写出你的结论：

（不要求证明）．

考点：全等三角形的判定与性质

专题：探究型

分析：（1）首先利用三角形的内角和求得∠ACB=∠DFE，进一步得出∠ACM=∠DFN，证得△ACM≌△DFN，得出AC=DF，进一步证得△ABC≌△DEF；
（2）延长CM至P，使得CM=MP，连接BP，延长FN至Q，使得FN=NQ，连接EQ，证得△ACM≌△BPM，△DFN≌△EQN，进步得出△ABC≌△DEF，得出结论；
（3）当高CM、FN在△ABC和△DEF的内部，∠B=∠E；当其中一条高在三角形的外部，一条高在三角形的内部，则∠B+∠E=180°．

解答： 解：（1）∵在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，
∴∠ACB=∠DFE，
∵CM、FN分别是△ABC和△DEF的角平分线，
∴∠ACM=

∠ACB，∠DFN=

∠DFE，
∴∠ACM=∠DFN，
在△ACM和△DFN中，

∠A=∠D

∠ACM=∠DFN

CM=FN

，
∴△ACM≌△DFN（AAS），
∴AC=DF，
在△ABC和△DEF中，

∠A=∠D

AC=DF

∠B=∠E

，
∴△ABC≌△DEF（ASA）．
（2）如图，