Question

（2013•石景山区一模）已知：如图，在四边形ABCD中，DC⊥AD，△DBC是等边三角形，∠ABD=45°，AD=2．求四边形ABCD的周长．

Answer 1

分析：作AE⊥BD于点E，在直角△ADE中利用三角函数求得AE、BD的长度，然后在直角△ABE中求得AB、BE的长，则BC、CD的长度可以求得，周长就可求出．

解答：解：作AE⊥BD于点E．
在直角△ADE中，∠ADE=90°-∠BDC=90°-60°=30°，
∴AE=

1

2

AD=

1

2

×2=1，DE=AD•cos30°=2×

3

2

=

3

．
在直角△ABE中，∠ABD=45°则AE=BE=1，
∴AB=

2

，BD=BE+DE=

3

+1，
∴四边形ABCD的周长=AB+AD+BC+CD
=

2

+2+（

3

+1）+（

3

+1）
=2

3

+

2

+4．

点评：本题考查解直角三角形的应用，正确作出辅助线是关键．