Question

若正方形的四个顶点分别在直角三角形的三条边上，直角三角形的两直角边的长分别为3cm和4cm，则此正方形的边长为________cm．

Answer 1

或
分析：由于正方形的位置不确定要分两种情况讨论：①正方形有一个顶点在斜边上，②正方形有两个顶点在斜边上；①可设出正方形的边长，利用相似三角形的成比例线段求解；②可用正方形的边长表示出直角三角形的斜边长，进而可列方程求出正方形的边长．
解答：解：如图；
Rt△ABC中，AB=3，BC=4，由勾股定理，得：
AC==5；
（1）如图①，设正方形的边长为x，则AD=3-x，CF=4-x；
易证得△ADE∽△EFC；
∴，即，解得x=；
即正方形的边长为；
（2）如图②，设正方形的边长为x，则AG=x，CF=x；
∴AC=AG+EF+CF=x+x+x=5，解得x=；
即正方形的边长为；
故这个正方形的边长为或cm．
点评：此题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理的应用等知识，同时还考查了分类讨论的数学思想方法．