Question

（10分）如图正方形ABCD边长为1，G为CD边上的一个动点（点G与C、D不重合），以CG为一边向正方形ABCD外作正方形GCEF，连接DE交BG的延长线于点H。

（1）求证：BH⊥DE；
（2）当BH垂直平分DE时，求CG的长度？请说明理由。

Answer 1

（1）见解析；（2）

试题分析：（1)先根据正方形的性质证得△BCG≌△DCE，可得∠GBC=∠CDE，再根据Rt△DCE中∠CDE+∠CED=90⁰，即可证得结论；
（2）由BH垂直平分DE可得BD=BE，再由BD=即可求得结果.
（1）∵正方形ABCD
∴∠BCD=90⁰
BC=CD
同理:CG=CE
∠GCE=90⁰
∴∠BCD=∠GCE=90⁰  
∴△BCG≌△DCE
∴∠GBC=∠CDE
在Rt△DCE中
∠CDE+∠CED=90⁰
∴∠GBC+∠BEH=90⁰
∴∠BHE=180⁰-(∠GBC+∠BHE) =90⁰
∴BH⊥DE
(2)当CG=-1时BH垂直平分DE
理由如下：若BH垂直平分DE
∴BD=BE
∵BD=
∴CG=CE=BE-BC=-1.
点评：解答本题的关键是熟练掌握正方形的四条边相等，四个角都是直角，线段垂直平分线上的点到相等两端的距离相等。