题目内容
如图1，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，点P是边AB上的一个动点（不与点A、点B重合），点Q在边AD上，将△CBP和△QAP分别沿PC、PQ折叠，使B点与E点重合，A点与F点重合，且P、E、F三点共线．
（1）若点E平分线段PF，则此时AQ的长为多少？
（2）若线段CE与线段QF所在的平行直线之间的距离为2，则此时AP的长为多少？
（3）在“线段CE”、“线段QF”、“点A”这三者中，是否存在两个在同一条直线上的情况？若存在，求出此时AP的长；若不存在，请说明理由．
【答案】分析：（1）根据条件可以得出△AQP≌△FQP，△CPB≌△CPE，就可以得出PA=PF，PB=PE，由点E平分线段PF就可以得出EF=PE=PB，可以求出PB的值由三角形相似及可以AQ的值；
（2）由（1）的结论可以得出AP-PB=2，由AP+PB=4，以及EP-PF=2，PB-AP=2，解一个二元一次方程组解可以求出结论；
（3）如图2，当CE与点A在同一直线上△AEP∽△ABC，设AP=x，根据相似三角形的性质就可以求出结论；若CE与QE在同一直线上，如图3，由AP=BP可以求出结论．
解答：解：（1）将△CBP和△QAP分别沿PC、PQ折叠，得到△QFP和△PCE，
∴△AQP≌△FQP，△CPB≌△CPE，
∴PA=PF，PB=PE，∠QPA=∠QPF，∠CPB=∠CPE．
∵点E平分线段PF，
∴EF=EP=PB．
∵AB=4，
∴PB=
，AP=
．
∵∠QPA+∠QPF+∠CPB+∠CPE=180．
∴∠QPA+∠CPB=90°．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=90°，
∴∠CPB+∠PCB=90°，
∴∠QPA=∠PCB，
∴△QAP∽△PBC，
∴
，
∴
∴QA=
；
（2）由题意，得
EP-PF=2．
∴PB-AP=2，
∵AP+PB=4，
∴2BP=6，
∴BP=3，
∴AP=1．
由题意，得
PF-EP=2．
∴AP-PE=2，
∵AP+PB=4，
∴2AP=6，
∴AP=3，
故AP的长为1或3；
（3）①若CE与点A在同一直线上，则
△AEP∽△ABC
∴
，
设AP=x，
∴
=
∴x=5-
②如图3，若CE与QE在同一直线上，则
∴EP=AP=BP，
∴2AP=4，
∴AP=2．
点评：本题是一道四边形综合试题，考查了轴对称的性质的运用，相似三角形的判定及性质的运用，解答本题时合理运用相似三角形的性质是解答本题的关键．
（2）由（1）的结论可以得出AP-PB=2，由AP+PB=4，以及EP-PF=2，PB-AP=2，解一个二元一次方程组解可以求出结论；
（3）如图2，当CE与点A在同一直线上△AEP∽△ABC，设AP=x，根据相似三角形的性质就可以求出结论；若CE与QE在同一直线上，如图3，由AP=BP可以求出结论．
解答：解：（1）将△CBP和△QAP分别沿PC、PQ折叠，得到△QFP和△PCE，
∴△AQP≌△FQP，△CPB≌△CPE，
∴PA=PF，PB=PE，∠QPA=∠QPF，∠CPB=∠CPE．
∵点E平分线段PF，
∴EF=EP=PB．
∵AB=4，
∴PB=
，AP=．∵∠QPA+∠QPF+∠CPB+∠CPE=180．
∴∠QPA+∠CPB=90°．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=90°，
∴∠CPB+∠PCB=90°，
∴∠QPA=∠PCB，
∴△QAP∽△PBC，
∴
，∴
∴QA=
； （2）由题意，得
EP-PF=2．
∴PB-AP=2，
∵AP+PB=4，
∴2BP=6，
∴BP=3，
∴AP=1．
由题意，得
PF-EP=2．
∴AP-PE=2，
∵AP+PB=4，
∴2AP=6，
∴AP=3，
故AP的长为1或3；
（3）①若CE与点A在同一直线上，则
△AEP∽△ABC
∴
，设AP=x，
∴
= ∴x=5-
②如图3，若CE与QE在同一直线上，则
∴EP=AP=BP，
∴2AP=4，
∴AP=2．
点评：本题是一道四边形综合试题，考查了轴对称的性质的运用，相似三角形的判定及性质的运用，解答本题时合理运用相似三角形的性质是解答本题的关键．
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