Question

已知：如图，等边三角形ABC的边长为4，以它的一边AB为直径的⊙O与边AC、BC分别交于点D、E，过点D作DF⊥BC，垂足为F．
（1）求证：DF为⊙O的切线；
（2）求DF的长；
（3）求图中阴影部分的面积．

Answer 1

证明：（1）连接DO，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠C=60°，
∵OA=OD，
∴△OAD是等边三角形，
∴∠ADO=60°，
∵DF⊥BC，
∴∠CDF=90°-∠C=30°，
∴∠FDO=180°-∠ADO-∠CDF=90°，
∴DF为⊙O的切线；

（2）∵△OAD是等边三角形，
∴AD=AO=AB=2，
∴CD=AC-AD=2，
Rt△CDF中，
∵∠CDF=30°，
∴CF=CD=1，
∴DF==；

（3）连接OE，由（2）同理可知CE=2，
∴CF=1，∴EF=1，
∴S_{直角梯形FDOE}=（EF+OD）•DF=，
∴S_扇形OED==，
∴S_阴影=S_{直角梯形FDOE}-S_扇形OED=-．
分析：（1）连接DO，要证明DF为⊙O的切线只要证明∠FDP=90°即可；
（2）由已知可得到CD，CF的长，从而利用勾股定理可求得DF的长；
（3）连接OE，求得CF，EF的长，从而利用S_{直角梯形FDOE}-S_扇形OED求得阴影部分的面积．
点评：此题考查了切线的判定，等边三角形的性质，以及扇形面积求法，其中切线的判定方法为：有点连接证明垂直；无点作垂线，证明垂线段等于半径．