Question

现将连续自然数1至2009按图中的方式排列成一个长方形队列，再用正方形任意框出16个数．

（1）设任意一个这样的正方形框中的最小数为n，请用n的代数式表示该框中的16个数，然后填入右表中相应的空格处，并求出这16个数中的最小数_________，然后填入右表中相应的空格处，并求出这16个数的和_________．（用n的代数式表示）
（2）在图中，要使一个正方形框出的16个数之和分别等于832、2000、2008是否可能？若不可能，请说明理由；若可能，请求出该正方形框出的16个数中的最小数和最大数．
（3）计算出该长方形队列中，共可框出多少个这样不同的正方形框？

Answer 1

解：（1）设左上角第一个数为n， 根据相邻之间的关系可以得到右表： 其中最小数为n，最大数为n+24． 这16个数的和为16n+192=16（n+12）； （2）设①16（n+12）=832， 解得：n=40， ∴框出的16个数之和等于832可能；最小数为40，最大数为40+24=64； ②16（n+12）=2000， 解得：n=113， ∴框出的16个数之和等于2000可能；最小为数为113，最大为数为137； ③16（n+12）=2008， 解得：n=119.75， ∴框出的16个数之和等于2008不可能； （3）设共有n行， ∵每行有7个数， ∴7n﹣6=2003，n=287， 后3行不能构成正方形，故287﹣3=284行，每行4个， 共284×4=1136． ∴该长方形队列中，共可框出1136个这样不同的正方形框．