Question

如图，在矩形ABCD的对角线AC上有一动点O，以OA为半径作⊙O交AD、AC于点E、F，连结CE．
（1）若CE恰为⊙O的切线，求证：∠ACB=∠DCE；
（2）在（1）的条件下，若AB=

2

，BC=2，求⊙O的半径．

Answer 1

分析：（1）首先连接OE，由CE恰为⊙O的切线，易证得四边形ABCD是矩形，然后由等角的余角相等，证得：∠ACB=∠DCE；
（2）首先连接EF，易证得△ABC∽△EDC，然后由相似三角形的对应边成比例，求得DE的长，由勾股定理，求得AC的长，继而求得答案．

解答：（1）证明：连接OE，
∵CE是⊙O的切线，
∴OE⊥EC，
∴∠DEC+∠AEO=90°，
∵OE=OA，
∴∠AEO=∠EAO，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠D=90°，
∴∠ACB=∠EAO，∠DCE+∠DEC=90°，
∴∠ACB=∠DCE；

（2）解：连接EF，
∵∠ACB=∠DCE，∠B=∠D=90°，
∴△ABC∽△EDC，
∴

AB

DE

=

BC

CD

，
∵AB=CD=

2

，BC=2，
∴DE=1，
∴AE=DE，
∵AF为直径，
∴EF⊥AD，
∴EF∥CD，
∴AF=CF，
在Rt△ABC中，AB=

2

，BC=2，
∴AC=

6

，
∴⊙O的半径OA=

1

2

AF=

1

4

AC=

6

4

．

点评：此题考查了切线的性质、矩形的性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．