Question

【题目】如图所示，已知一次函数的图象与轴，轴分别交于点、．以为边在第一象限内作等腰，且，．过作轴于．的垂直平分线交与点，交轴于点．

（1）求点的坐标；

（2）在直线上有点，且点与点位于直线的同侧，使得，求点的坐标．

（3）在（2）的条件下，连接，判断的形状，并给予证明．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）等腰直角三角形，证明见详解.

【解析】

（1）证，，.

（2）由可知作的一半的面积与相等，可作一条过AC的中点的平行于AB的直线将会交于M点，证， ，.

（3）E、G分别为的中点，知，，，为矩形，,，，可判断，即可得的形状.

（1）∵的图象与轴、轴分别交于点、,

∴可得，

∵，

∴，

∵，

∴，

在与中，

，

∴；

∴，；

∴；

∴

（2）如下图作一条过AC的中点H点的平行于AB的直线将会交于一点，由A、C点可得H点坐标，

∵，

∴，

∴与的高相等，即过H点的平行于AB的直线将会交于M点

∵，

∴

∵，

∴，

∴，

如下图过H点作的垂线交于I点，，得，，

在与中，

，

∴；

∴，

∴；

∴

（3）∵E、G分别为的中点，

∴，

∵，

∴为矩形；

∴，,

∵，，，

∴,，得，

∴为等腰直角三角形；